Расчёт на прочность статически определимой стержневой системы

Исходные данные и условие задачи

Для заданной статически определимой стержневой системы, показанной на рисунке 5, требуется:

- определить площади поперечных сечений стержня из расчёта на прочность по предельному состоянию;

- вычислить удлинения стержней, вызванные действием внешней силы F . Определить удлинения, вызванные заданным изменением температуры ;

- определить перемещение точки С, вызванное совместным действием внешней нагрузки F и изменением температуры .

В расчете принять:

F =50 кН;

а = 2,0 м;

b =1,0 м;

h = 0,5 м;

R = 160 МПа;

МПа;

град^-1.

Решение задачи

Для определения продольных сил N ₁ и N ₂, возникающих в стержнях системы, воспользуемся методом сечений (рис. 6). Отсечём шарнир С от стержневой системы и рассмотрим его равновесие. Будем полагать продольные силы N ₁ и N ₂ положительными, т.е. растягивающими стержни.

; .

В результате получаем следующую систему уравнений:

Решая систему уравнений, получаем: N ₁ =59,26 кН; N ₂ =79,76 кН.

Положительные значения, полученные для N ₁ и N ₂, показывают, что направления N ₁ и N ₂ соответствуют действительности и направлены так, как показано на рисунке 6.

Определим площади поперечных сечений стержней из расчёта на прочность по предельным состояниям:

м²;

м².

Далее вычисляем удлинения стержней. Воспользовавшись законом Гука находим удлинения, вызванные продольными силами N ₁ и N ₂:

м;

м.

Удлинения стержней, вызванные изменением температуры, находим по формулам, известным из курса физики:

м;

м.

Отрицательные значения удлинений соответствуют уменьшению длины стержней заданной системы.

Графически определяем перемещение узла С. Для построения перемещений и удлинений примем масштаб 20:1. Откладываем полученные значения удлинений стержней с учетом знаков вдоль их осей в недеформированном состоянии (рис. 7). В результате находим новое положение концов стержней 1 и 2. Из этих точек восстанавливаем перпендикуляры к осям наклонных стержней. Точка пересечения указанных перпендикуляров С ¢ соответствует новому положению шарнира С. Длина вектора СС ¢ является искомой величиной перемещения . Воспользовавшись масштабом чертежа получаем = 0,91 мм.

Расчёт на прочность статически неопределимой стержневой системы

Исходные данные и условие задачи

На рисунке 8 изображена статически неопределимая стержневая система, которая состоит из двух алюминиевых стержней и абсолютно жесткой балки, которая не деформируется в результате внешних воздействий. Для дальнейшего расчета принять:

h = 4,0 м;

а = 3,0 м;

F = 200 кН;

;

МПа;

град^-1;

;

cм.

По условию задачи требуется:

- определить величину продольных усилий от действия заданной внешней нагрузки F;

- по полученным значениям подобрать площади поперечных сечений стержней из расчёта на прочность по предельному состоянию;

- вычислить напряжения и удлинения стержней от действия внешней нагрузки;

- используя найденные площади поперечных сечений стержней, найти напряжения и удлинения стержней от заданного перепада температур ;

- найти напряжения и удлинения стержней, вызванных заданной неточностью изготовления одного из элементов стержневой системы ;

- определить величину продольных усилий, напряжений и перемещений возникающих в стержнях стержневой системы при одновременном действии внешней силы, перепада температуры и неточности изготовления.

Определяем продольные усилия, возникающие в элементах заданной системы от действия внешней силы F . Отрезаем жесткую балку от стержней, заменяя их действие неизвестными силами и (рис. 9). Помимо этих сил на систему действуют две опорные реакции, возникающие в шарнирно неподвижной опоре А.Таким образом число неизвестных усилий равно четырем. Для плоской задачи можно составить только три уравнения. Следовательно, рассматриваемая задача является однажды статически неопределимой. Для раскрытия статической неопределимости системы рассмотрим три стороны задачи: статическую, геометрическую и физическую.

Статическая сторона задачи

Так как нас интересуют усилия в стержнях и , то из трех возможных уравнений равновесия статики воспользуемся только одним, а именно. Выбор этого уравнения объясняется тем, что в него не будут входить опорные реакции шарнирно неподвижной опоры.В результате получаем:

; .

Геометрическая сторона задачи

Под действием внешней силы жесткая балка повернется вокруг неподвижной точки А (рис. 10). При этом стержень 1 удлинится на величину ВВ₂ = = , а стержень 2 удлинится на величину СС₁ = . Как следует из рисунка треугольники АВВ₁ и АСС₁ подобны, следовательно

Из прямоугольного треугольника ВВ₁В₂ получаем

ВВ₁ = .

Тогда

или .

Полученное уравнение представляет собой условие совместности деформаций заданной системы.

Далее вычисляем

; ; ; .

Длины стержней

м; м.

Физическая сторона задачи

Удлинения стержней 1 и 2 вызваны продольными усилиями и , действующими в этих элементах. На основании закона Гука получаем:

Подставляя полученные выражения в уравнение совместности деформаций, получаем

Используя это соотношение, из уравнения статики имеем:

;

кН.

Определяем нормальные напряжения в стержнях:

;

Из условий прочности для второго стержня, определяем требуемую площадь поперечного сечения:

МПа,

отсюда

м²= 30,2 см².

Находим численные значения напряжений и удлинений в стержнях системы от действия внешней нагрузи:

МПа;

м мм;

м мм.

Далее определяет усилия, напряжения и удлинения в стержнях заданной системы от действия температуры. От перепада температур в стержнях системы возникают дополнительные усилия и . Если стержни не соединены в единую системы, то они получат следующие температурные удлинения

м;

м.

Откладываем в некотором масштабе полученные значения удлинений и . Предположим, что абсолютно жесткая балка повернулась на некоторый угол (на рис. 11 показана пунктиром). Из рисунка 11 следует, что для того, чтобы присоединить конец деформированного стержня 1 к точке В₁, его нужно дополнительно сжать на величину . Для того, чтобы конец деформированного стержня 2 присоединить к точке С₁ его следует дополнительно растянуть на величину . В соответствии с этим на расчетной схеме показываем направления усилий, возникающих в стержнях от температурных воздействий.

Для определения температурных усилий и рассмотрим равновесие абсолютно жесткой балки. Для раскрытия статической неопределимости рассмотрим три стороны задачи.

Статическая сторона задачи

; .

Геометрическая сторона задачи

Из подобия треугольников АВВ₁ и АСС₁ (рис. 11) следует, что

СС₁ = ; ВВ₁= .

;

Полученное выражение является уравнением совместности деформаций стержневой системы.

Физическая сторона задачи

Удлинения стержней 1 и 2, вызванные усилиями и , определяем на основании закона Гука.

; .

Подставляя полученные выражения в уравнение совместности деформаций, имеем:

;

Используя соотношения, полученные из статического уравнения равновесия, окончательно получаем

;

Н кН.

кН.

Так как продольные усилия получились со знаком «плюс», то их направления, показанные на рисунке 11, соответствуют действительности, т.е. кН - сжимающее, а кН - растягивающее усилие.

Далее вычисляем напряжения в стержнях 1 и 2 от действия температуры:

МПа;

МПа.

Находим результирующие удлинения стержней, возникающие от заданного перепада температуры:

м;

м.

Проверим, выполняется ли ранее полученное уравнение совместности деформаций:

;

Погрешность вычислений: .

Определим усилия, напряжения и удлинения элементов заданной системы, вызванных неточностью изготовления стержня 1. Так как этот стержень изготовлен длиннее чем это необходимо по чертежу, то при сборке системы абсолютно жесткая балка АС займет новое положение АС₁ (рис. 12). При этом в стержне 1 возникнет сжимающее усилие , а в стержне 2 – растягивающее усилие . Для раскрытия статической неопределимости системы снова рассматриваем три стороны задачи.

Статическая сторона задачи

;

Геометрическая сторона задачи

Из подобия треугольников АВВ₁ и АСС₁ следует

тогда

;

Это уравнение совместности деформаций элементов системы.

Физическая сторона задачи

Укорочение стержня 1 и удлинение стержня 2, вызванные усилиями и , действующими в этих стержнях, на основании закона Гука равны:

; .

Подставляя эти выражения в уравнение совместности деформаций, имеем:

Используя соотношение, полученное из статической стороны задачи, получаем:

;

Н кН;

кН.

Находим нормальные напряжения в стержнях 1 и 2 от действия продольных усилий, вызванных неточностью изготовления первого стержня:

МПа;

МПа.

Вычисляем удлинения стержней 1 и 2:

м;

м.

Проверим, выполняется ли уравнение совместности деформаций:

;

Погрешность вычислений: .

Для определения усилий, напряжений и перемещений стержней от совместного действия внешних сил, перепада температур и неточности изготовления одного из элементов системы воспользуемся принципом независимости действия сил.

Усилия в стержнях равны:

кН;

Проверка:

; ;

;

кНм.

Погрешность вычислений: .

Напряжения в стержнях равны:

МПа;

МПа.

Перемещения в стержнях равны:

м;

м.

Выполняем геометрическую проверку. Вычисленные перемещения и должны удовлетворять условию совместности деформаций системы, т.е. должно соблюдаться равенство

;

Погрешность расчета .

Дата добавления: 2020-01-07; просмотров: 833; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!