Начнем с определителя второго порядка

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

Пример:

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, правило Саррюса.

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

Метод разложения по строке или столбцу:

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример:

Тема:

«Решение систем линейных уравнений методом Крамера , методом Гаусса и матричным методом».

Теоретическая часть:

Системы линейных уравнений

(общие сведения)

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными

(1)

Решением системы (1) называется совокупность чисел ( , , …, ), которая при подстановке в систему (1) вместо неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество. Система может иметь решение, тогда она называется совместной, причем, если решение единственное, система определенная, если решений множество – система неопределенная. Если система не имеет решений, она называется несовместной. Рассмотрим два способа решения системы: метод Крамера и метод Гаусса.

Метод Крамера

При решении методом Крамера используем определители -го порядка. Пусть задана система (1). Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

ТЕОРЕМА. Если определитель системы , то систему (3) можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное:

; ; … ; ,

где определитель может быть получен из главного определителя путем замены -го столбца на столбец из свободных членов

Метод Гаусса

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.

Идея метода Гаусса состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается.

Пример 2

В результате элементарных преобразований добиваются того, чтобы в последнем уравнении системы осталось одно неизвестное ( ), во втором – 2 неизвестных ( и ) а в первом – 3 неизвестных ( , , ). За ведущее уравнение берется то, в котором коэффициент при равен 1. Если такого уравнения нет, то его легко получить, разделив любое из уравнений системы на коэффициент при .

Ведущим уравнением данной системы будет последнее. Перепишем систему так:

(2)

Умножаем первое уравнение на (-2) и складываем со вторым, чтобы избавиться от во втором уравнении. Результат сложения записываем на месте второго уравнения. Далее первое уравнение умножаем на (-5) и складываем с третьим, чтобы избавиться от в третьем уравнении. Результат записываем на месте третьего уравнения. Первое уравнение при этом переписываем без изменений. Получим:

(3)

Системы уравнений (2) и (3) эквиваленты, т. е. они обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.

Умножаем второе уравнение системы (5) на (-1) и складываем с третьим, чтобы избавиться от в третьем уравнении. Первое уравнение при этом не трогаем. Результат записываем на месте третьего уравнения. Тогда

Из последнего уравнения . Подставляем это значение во втрое уравнение системы и находим :

В первое уравнение подставляем значения и , получаем

Ответ: ; ; .

Рекомендуется сделать проверку.

Матричный способ

Систему можно решить и матричным способом.

(4)

Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных:

Из неизвестных , , и свободных членов составим матрицы – столбцы

; .

Тогда система (4) в матричной форме примет вид

. (5)

Чтобы найти матрицу , умножим (7) на слева.

Тема: «Основы теории комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа»

В XVI веке итальянский математик Дж.Кордано и Р.Бомбелли, решая квадратное уравнение ввели символ , который в XVIII веке петербургский ученый Л.Эйлер обозначил , отсюда решение данного квадратного уравнения имеет вид так появилось множество комплексных чисел.