Примеры заданий ЕГЭ с цилиндром
Пример 1. Высота кругового цилиндра на 10 больше радиуса основания, а площадь полной поверхности равна 144 
. Найдите радиус описанной сферы.
Решение. Радиус описанной сферы
(рис. 27).
Площадь поверхности цилиндра
, 144 
144 
,
упростим данное выражение:
36 
.
Получим квадратное уравнение
Найдём корни этого уравнения
, 
Корень 
не подходит, так как он отрицательный. Высота
Найдём радиус описанной сферы:
.
Ответ: 
.
Пример 2. В шар вписан прямой круговой цилиндр (рис. 28). Во сколько раз объём шара больше объёма цилиндра, если известно, что отношение радиуса шара к радиусу основания цилиндра вдвое меньше, чем отношение поверхности шара к боковой поверхности цилиндра.
Рис. 28
Решение. Отношение объёма шара к объёму вписанного цилиндра
.
По условию известно, что
; 
–
равносторонний
Найдём отношение объёмов шара и вписанного цилиндра
.
Ответ: 16:9.
Примеры заданий ЕГЭ с конусом
Рис. 29
Пример 1. Диаметр основания конуса равен 6 м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60° (рис. 29). Найдите площадь описанной около конуса сферы.
Решение. Пусть С - вершина конуса, О — центр его основания, АСВ - осевое сечение конуса. Поскольку образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60° и СО — высота конуса, то прямая АВ - проекция прямой СА на плоскость основания конуса. Следовательно, 
САВ равен углу между образующей конуса и площадью его основания. Поэтому САВ= 60° и равнобедренный треугольник АВС — правильный. Отсюда следует, что
СА = АВ = ВС = 6м.
Найдем положение центра сферы, описанной около конуса. По определению такой сферы, окружность основания конуса — сечение описанной сферы и вершина конуса лежит на этой сфере. По свойству диаметра сферы, проходящего через центр любого ее сечения, прямая СО перпендикулярна плоскости основания конуса и поэтому центр О1 описанной сферы лежит на прямой СО. Отсюда следует, что центр О1сферы, описанной около конуса, есть центр окружности, описанной около его осевого сечения.
В правильном треугольнике
АВС R = O1C = 
(м)
Найдем площадь сферы:
(м2).
Ответ: 48 
м2.
Рис. 30
Пример 2. В шар радиуса R = 6 см вписан конус высотой h (рис. 30). Выразить объем и боковую поверхность конуса как функции аргумента h .
Решение. Имеем:
и 
где r — радиус основания, L — образующая конуса.
Из 
учитывая, что r = ВА – высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, имеем:
r2 = 
и 
. Или r2 
и 
, 
.
Теперь получаем:
,
или 
.
Ответ: 
Рис. 31
Пример 3. В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания (рис 31). Найти отношение поверхности конуса к поверхности шара.
Решение. Изобразим осевое сечение конуса, которое пройдет через центр шара. Так как диаметр основания конуса равен образующей, то в сечении получим правильный треугольник, вписанный в окружность (рис. 31). Пусть радиус шара равен R : тогда
АВ = R 
, А D = 
Обозначим полную поверхность конуса через S1, а поверхность шара через S2. Имеем
откуда S1: S 2 = 9:16.
Ответ: S1: S 2 = 9:16.
Заключение
В процессе исследования мы выяснили, что задачи с описанной сферой достаточно часто предлагаются школьникам на ЕГЭ, поэтому умение решать задачи данного типа играет немало важную роль в успешной сдаче экзаменов. Так же задачи с описанной сферой часто встречаются на олимпиадах по математике различного уровня. Соответствующие примеры приведены в нашей работе. На данном этапе мы ограничились рассмотрением задач на комбинацию описанной сферы с пирамидой, призмой, цилиндром, конусом. Подобраны задачи для самостоятельной работы. В процессе выполнения работы нами были использованы следующие методы: работа с научной и научно-популярной литературой, сбор информации в сети Internet, анализ, систематизация, классификация и обработка на компьютере. В настоящий момент результаты представлены в виде реферата. В дальнейшем планируется дополнить работу новыми задачами.
Список литературы
1. Абрамович М.И., Стародубцев М.Т. Математика (геометрия и тригонометрические функции). Учебное пособие для подготовительных отделений вузов – М: Высшая школа, 1976. – 304 с.
2. Войтович Ф.С. Комбинации геометрических тел: (вписанные и описанные шары): Книга для учащихся. – Минск: Народная асвета, 1992. – 160 с.
3. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В. И др. Список конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями): учебное пособие. – второе издание – М: Наука, 1986. – 384 с.
4. Денищева Л.О., Безрукова Г.К., Бойченко Е.М. и др. Единый государственный экзамен, математика, контрольные измерительные материалы – М: Просвещение 2005. – 80 с.
5. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А. и др. Единый государственный экзамен. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М: Интелект-Центр, 2008. – 240 с.
6. Дорофеев Г.В., Потапов К.М., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы – М: Наука 1972. – 528 с.
7. Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. 2500 задач по математике с решениями для поступающих в вузы: – М: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2002. – 912 с.
8. Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Геометрия в таблицах – М: Дрофа 2007. – 128 с.
9. Климин С.В., Стрункина Т.В., Пантелеева Е.И. и др. Единый государственный экзамен, тестовые задания – М: Просвещение 2002. – 24 с.
10. Моденов В.П., Дорофеев Г.В., Новоселов С.И. и др. Пособие по математике – М: Издательство Московского университета, 1972. – 404 с.
11. Шувалова Э.З., Каплун В.И. Геометрия: учебное пособие для подготовительных отделений вузов – М: Высшая школа, 1980. – 265 с.
12. http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/2000/06/kv0600solut.pdf
13. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9D%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0
14. http://rgp.nm.ru/geometriia/praktika11/zadatcha119.html
Дата добавления: 2020-01-07; просмотров: 116; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!