Примеры олимпиадных заданий с призмой

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

Пример 1. В шар, объем которого равен V , вписана прямая треугольная призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с острым углом , а наибольшая ее боковая грань есть квадрат. Найти объем призмы.

Рис.13

Решение. Сначала определим положение центра шара относительно призмы. Сечения шара плоскостями оснований призмы - круги, в которые вписаны эти основания (рис. 13), а так как основания призмы равны, то равны и одинаково удалены от центра шара круги сечений. Каждый из центров О₁ и О₂совпадает с серединой соответствующей гипотенузы.

Рис.14

Рис.15

Из свойств сечений шара плоскостью известно, что перпендикуляр, проведенный из центра шара О кплоскости круга сечения, проходит через центр этого круга. Следовательно, О₁О плоскости АВС. Прямая О₁О проходит также через O₂ и перпендикулярна плоскости Таким образом, центр шара лежит на грани в середине отрезка O₁O. Все боковые грани призмы — прямоугольники, причем грань — наибольшая из них (так как АВ — гипотенуза треугольника A ВС). Эта грань по условию — квадрат. Сечение шара плоскостью грани — большой круг шара, поэтому радиус круга, изображенного на рис. 14, равен радиусу шара R . Заметим, что высота призмы АА₁= a₄ = . Теперь остается найти площадь основания:

S _А _B _С = . Из (рис. 15)

имеем АС = АВ , значит,

S _А _B _С = .

Теперь получаем:

V_приз. .

По условию,

R³ = V,

откуда R³= ,следовательно,

V_приз.

Ответ: V_приз.

Рис.17

Пример 2. Найти отношение поверхности и объёма шара соответственно к поверхности и объёму вписанного куба

Решение. Пусть радиус шара равен R , ребро куба равно а;

тогда R²- , откуда а= .

Обозначим объемы и поверхности шара и куба соответственно через V₁, V₂, и S₁, S₂.

Имеем

V₁= , V₂ = = , S₁ =4 , S₂=6а ²=8R²,

откуда

V₁ V₂= , S₁ S₂ = .

Ответ: V₁ V₂= , S₁ S₂ = .

Примеры олимпиадных заданий с цилиндром

Рис.18

Пример. Найдите отношение объёма шара к объёму прямого кругового цилиндра, вписанного в этот шар, если известно, что меньший угол между диагоналями осевого сечения цилиндра равен и диаметр основания больше высоты цилиндра (рис. 18).

Решение. Объём шара нам известен , а объём цилиндра найдём по формуле , но , поэтому

Пусть ABCD - осевое сечение цилиндра (см. рис. 18). Так как диаметр основания, больше высоты цилиндра, то – угол АОВ. Из треугольника АВО следует, что высота цилиндра

Радиус основания цилиндра

Угол .

Получается, что

Подставим найденные данные в формулу объёма цилиндра:

;

Таким образом,

Найдём отношение

Ответ: .

Примеры олимпиадных заданий с конусом

Рис.19

Пример 1. В шар радиуса R вписан круговой конус; угол между образующими конуса в осевом сечении равен α. Найти высоту, образующую и радиус основания конуса.

Решение. Сечение шара, проходящее через ось конуса,— это большой круг шара, в который вписан АВ S (рис. 19), где A В — диаметр основания конуса. Продолжим высоту (ось) конуса SO до пересечения с окружностью большого круга в точке Е и рассмотрим Е S А:

в этом треугольнике

SE = 2R, S АЕ = 90° и А S Е= .

Поэтому

А S = 2R .

Теперь из А OS находим

A О= r = 2R , SO = h=2R

Ответ : SO=2R А S = 2R , A О= .

Пример 2. Отношению высоты конуса к радиусуописанного вокруг него шара равно k . Найти отношение объёмов этих тел. Выяснить при каких k задача имеет смысл.

Рис.20

Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса (рис. 20). Пусть h — высота конуса, R — радиус шара, описанного около конуса. Тогда, по условию, =k, т. е. h = kR .

Выразим радиус r основания конуса через R; рассмотрев хорды АС и ВЕ, получим:

В D D Е = А D D С (т. к. AD=DC,

– прямоугольный, AD – высота, опущенного из вершины прямого угла).

T. е.

(следовательно, k < 2).

V_ш = ; V_к = = .

Таким образом,

, (при 0 < k < 2).

Ответ: , (при 0 < k < 2).

Пример 3. В усеченном конусе радиусы нижнего и верхнего оснований равны соответственно r ₁ и r ₂ , а образующая конуса наклонена к плоскости нижнего основания под углом α (рис. 21). Найти радиус шара, в который вписан данный усеченный конус.

Рис.21

Решение. В сечении шара, проходящем через ось усеченного конуса, получается большой круг шара, в который вписана трапеция АВС D. Рассмотрим A ВС, который также вписан в большой круг шара. В этом треугольнике известен угол С BA = α. В силу теоремы синусов, АС = 2R . Таким образом, для определения R достаточно найти АС. Опустим из точки С перпендикуляр СЕ на АВ. Очевидно,