Тема «Законы и правила преобразования логических выражений»
Задание № 1. Какое логическое выражение равносильно выражению (А \/ B)?
1.A \/ B,
2. A /\ B,
3. A \/ B,
4. A /\ B.
Решение (вариант 1, использование законов де Моргана):
1) данное выражение представляет инверсию (отрицание) сложного высказывания, заданного в скобках. Раскроем скобки по закону де Моргана:
(А\/ B) = А/\ (B).
2) теперь воспользуемся законом двойного отрицания, по которому
(B) = В: А /\ (B) = A/\B. Ответ: 4
Решение. (вариант 2, через таблицы истинности, если забыли формулы де Моргана):
Для доказательства равносильности логических выражений достаточно показать, что они принимают равные значения при всех возможных комбинациях исходных данных; поэтому можно составить таблицы истинности для исходного выражения и всех ответов и сравнить их:
| А | В | А | B | А \/B | (А \/ B) | A\/ B | A/\B | A\/ B | A/\B |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Очевидно, что таблицы истинности исходного выражения (А \/ B) и выражения A/\ B совпадают во всех строчках. Ответ: 4
Задание № 2. Упростить формулу (А \/ В) /\ (А \/С).
Решение: Раскроем скобки: (А \/ В) /\ (А \/ С)=A /\ A\/ A/\C \/B /\ A\/B/\C;
1. По закону идемпотентности A/\A=A, следовательно, A /\ A\/ A /\ C\/ B /\ A\/B /\ C=A\/A /\C\/B/\A\/B/\C;
2. В высказываниях А и А /\ C вынесем за скобки А и используя свойство А \/ 1=1, получим A \/A /\C \/B/\ A\/B/\C=A /\ (1 \/ C)\/B /\A\/ B/\C = A\/B/\A\/ B/\C;
3. Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А.
A \/ B /\ A \/ B /\ C = A /\ (1 \/ B) \/ B /\ C = A \/ B /\ C.
|
|
|
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.
Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний - все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.
Задание № 3. Кто из учеников Саша, Сергей, Дима и Андрей играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:
а) если Саша и Сергей играет, то Дима не играет;
б) если Сергей не играет, то играют Дима и Андрей;
в) Дима играет?
Решение:Определим следующие простые высказывания:
А – «Саша играет в шахматы»; В – «Сергей играет в шахматы»;
С – «Дима играет в шахматы»; D – «Андрей играет в шахматы».
Запишем сложные высказывания, выражающие известные факты:
а) F1= (А \/ B) => C; б) F2=B=>(С /\ D); в) F3=C .
I способ: Запишем и упростим произведение указанных сложных высказываний: AB \/ C =>C) /\ B => (С /\ D) /\ С.
II способ: Составим таблицу истинности:
| А | В | F3=C | D | ØC | AÚB | F1=(AÚB)ÞØC | ØB | CÙD | F2=B=>(CÙD) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 1 | 0 | ||||||
| 0 | 0 | 1 | 1 | ||||||
| 0 | 1 | 0 | 0 | ||||||
| 0 | 1 | 0 | 1 | ||||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | ||||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 |
При F1 = F2 = F3 = 1 значения переменных соответствуют: А = 0, В = 0, С = 1, D = 1. Ответ: в шахматы играют ученики Дима и Андрей, а Саша и Сергей – не играют.
|
|
|
Задание № 4. «Ваза» Условие задачи: Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.
‑ Кто это сделал? ‑ спросила мама.
‑ Коля не бил по мячу, ‑ сказал Саша. ‑ Это сделал Ваня.
Ваня ответил: ‑ Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.
|
|
|
‑ Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, ‑ рассердилась мама. ‑ Ну, а ты что скажешь? ‑ спросила она Колю.
‑ Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, ‑ сказал Коля. Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду.
Кто разбил вазу?
Решение (способ 1, алгебраический): Обозначим высказывания: А = «Коля разбил вазу», В = «Ваня разбил вазу», С = «Саша разбил вазу», D = «Коля сегодня сделал уроки».
Согласно условию задачи, один из мальчиков солгал, а двое других говорили правду. Поэтому, если сложим записи истинного и ложного высказываний, составленных для каждого мальчика, то получим истинное высказывание.
Из слов Саши следует, что (А /\ B) \/ (А /\B) истинно;
Из слов Вани следует, что (А /\C) \/ (А /\ C) истинно;
Из слов Коли следует, что (В /\D) \/ (В /\ D) истинно.
Следовательно, истинна и конъюнкция
((А /\ B) \/ (А /\B)) /\ ((А /\C) \/ (А /\ C)) /\ ((В /\D) \/ (В /\ D)) = 1
Раскрывая скобки, получим:
((А/\ B)\/(А/\B))/\((А/\C)\/(А/\ C))/\((В/\D)\/(В/\D))=(AB\/AB)/\ (AC\/AC)/\(BD\/BD)=(ABC\/ABC)/\(BD\/BD)=ABCBD VABCBDVABCBDVABCBD=ABCDVABCD=ABCD=1, следовательно, А=1. Т.е. Коля разбил вазу. Ответ: Коля.
Решение (способ логических рассуждений)
Предположим, что Саша сказал правду: Коля не разбивал вазу, вазу разбил Ваня. Из двух оставшихся мальчиков кто-то дважды солгал. Допустим, Ваня тоже сказал правду: Коля разбил вазу, Саша вазу не разбивал. Но это противоречит словам Саши. Тогда допустим, что Ваня дважды солгал. Тогда получается, что Коля не разбивал вазы, а вазу разбил Саша. Но это снова противоречит словам Саши. Следовательно, дважды солгал именно Саша, а Ваня и Коля говорили правду, т.е. вазу разбил Коля. Ответ: Коля
|
|
|
Задание № 5. Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский язык, либо оба эти языка. Английский язык изучают 25 человек, французский - 27 человек, а то т и другой - 18 человек. Сколько всего учеников в классе?
Решение с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Английский язык изучают 7 учеников, французский - 9, и то т и другой 18, получаем, что всего в классе 7+9+18 = 34 ученика в классе.
Ответ:в классе 34 ученика.
Задание №.6. «Сосуд» Условие задачи: Алеша, Боря и Гриша нашли в земле сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по 2 предположения:
Алеша: «Этот сосуд греческий и изготовлен в V веке».
Боря: Этот сосуд финикийский и изготовлен в III веке».
Гриша: «Этот сосуд не греческий и изготовлен в IV веке».
Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?
Решение: При решении задач с помощью таблицы можно рассуждать так:
Пусть Алеша: «Этот сосуд греческий и изготовлен в V веке» = А.
Боря: Этот сосуд финикийский и изготовлен в III веке» = Б.
Гриша: «Этот сосуд не греческий и изготовлен в IV веке» = Г.
| 3 век | 4 век | 5 век | |
| греческий | А, Б | А, Г | |
| финикийский | Г | Б | А, Б, Г |
Вывод: сосуд финикийский изготовлен в 5 веке. Ответ: сосуд финикийский изготовлен в 5 веке.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 273; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!