Ответ: Являются высказываниями: 1–л, 5–и, 8–и, 9–л, 10–и; 4, 7.
Не являются высказываниями: 2; 3; 6.
Истинность трудно установить: 4.
Можно рассматривать и как истинное, и как ложное (в зависимости от требуемой точности представления): 7.
Задание № 4. Запишите рядом с высказыванием его вид (общее, частное, единичное):
1. Некоторые мои друзья собирают марки.
2. Все лекарства неприятны на вкус.
3. Некоторые лекарства приятны на вкус.
4. Я - последняя буква в алфавите.
Ответ: 1,3 - частные высказывания; 2 - общее высказывание, 4 - частное высказывание.
Тема «Алгебра высказываний»
Задание № 1. Определите значения следующих логических переменных:
1) А = « Два умножить на два равно пяти»,
2) В = «Всякий квадрат есть параллелограмм»,
3) С = «Всякий параллелограмм есть квадрат».
Ответ: А =0, В = 1, С = 0.
Задание № 2. Определите значение истинности следующих высказываний:
1) Высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3",
2) Высказывание "10 делится на 2 и 5 не больше 3»,
3) Высказывание "10 не делится на 2 и 5 больше 3",
4) Высказывание "10 не делится на 2 и 5 не больше 3".
Ответ:
1) истинное высказывание (1/\1=1),
2) ложное высказывание(1/\0=0),
3) ложное высказывание (0/\1=0),
4) ложное высказывание (0/\0=0).
Задание № 3. Запишите логические функции, соответствующие данным сложным высказываниям (в задании использовались строки из стихов А. С. Пушкина):
1) Мне вас не жаль, года весны моей.
2) На холмах Грузии лежит ночная мгла; Шумит Арагва предо мною…
|
|
|
3) Унынья моего ничто не мучит, не тревожит.
4) Мне не спится, не огня; Всюду мрак и сон докучный.
Ответ: 1. F(A) = не А, 2. F(A, В) = А и В, 3. F(A, В) = не А и не В , 4. F(A, В, C, D) = не А и не В и С и D.
Задание № 4. Представьте данное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» в виде логической формулы.
Решение. Обозначим через А простое высказывание «Число 6 делится на 2» - истинное высказывание, через В - «Число 6 делится на 3»- истинное высказывание. Простые высказывания соединены связкой и (конъюнкция), очевидно логическая формула имеет вид А /\ В. Ее значение ((1/\1=1) - истина.
Задание № 5. Даны два высказывания: А={3+2=5} и B={ круг имеет форму прямоугольника}. Определите, чему равны составные высказывания:
1) А /\ B, 2) A \/ B.
Ответ: 1) 0, 2) 1.
Задание № 6. Определите истинность составного высказывания: (А /\B) /\ (C \/ D), состоящего из простых высказываний:
А = {Принтер – устройство вывода информации},
В = {Процессор – устройство хранения информации},
С = {Монитор – устройство вывода информации},
D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.
Решение: Сначала устанавливаем истинность простых высказываний: А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.
Затем определим истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций: (ø1/\ø0) /\ (1\/ 0) = (0 /\1) /\ (1 \/ 0) = 0.
|
|
|
Ответ: (1/\0) /\(1\/0) =(0/\1) /\ (1\/0) =0 - составное высказывание ложно.
Задание № 7. Определите истинность составного высказывания:
«(2*2 =4/\3*3=10)\/(2*2 =5/\3*3=9)».
Решение: Замените простые высказывания логическими переменными и установите их истинность или ложность:
А: «2*2 = 4» - истинно (1),
В: «3*3 = 10 - ложно (0),
С: «2*2 = 5» - ложно (0),
D: «3*3 = 9» - истинно (1).
Замените также логические связки «и» и «или» операциями логического умножения и логического сложения. Тогда составное высказывание примет вид следующего логического выражения: (А /\ В) \/ (С /\ D).
Подставьте вместо логических переменных их логические значения и определите истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических функций:
(1/\ 0) \/ (0/\1) = 0 + 0= 0.
Ответ: составное высказывание ложно.
Тема «Логические функции»
Задание № 1. Запишите в виде логической формулы следующие высказывания:
1. Если Иванов здоров и богат, то он здоров.
2. Число является простым, если оно делится только на единицу и само на себя.
Решение. Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания: А = «Иванов здоров», В = «Иванов богат». Запишем высказывание в виде логической формулы A/\B=> A.
|
|
|
3. Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания: А = «Число является простым», В = «Число делится только на единицу», С= «Число делится на само себя». Запишем высказывание в виде логической формулы B/\C=>A.
Задание № 2. Для какого имени истинно высказывание:
(Первая буква имени гласная => Четвертая буква имени согласная)?
1) Елена 2) Вадим 3) Антон 4) Федор
Решение: Запишем логическую функцию, соответствующую данному высказыванию:
Ø(первая буква имени гласная®четвертая буква имени согласная)
А В
F(A, B) = (A®B)
По условию задачи функция F(A, B) истинна, следовательно, отрицание этой функции – ложно, т.е. высказывание (A®B) – ложно. Полученное высказывание является импликацией и ложно только в том случае, когда выражение А истинно, а В - ложно (см. табл. истинности импликации). Следовательно, среди предложенных ответов следует искать тот, в котором первая буква имени гласная и четвертая буква имени также гласная. Этому условию удовлетворяет только имя АНТОН. Ответ: 3
Задание № 3. Для какого числа X истинно высказывание X>1 /\ ((X<5) => (X<3))
|
|
|
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Решение: Запишем логическую функцию, соответствующую данному высказыванию:
X>1Ù((X<5)®(X<3)), т.е. F(A,B)=AÙB-конъюнкция двух высказываний.
А В
По условию задачи F(А, В) истинна, следовательно, выражения А и В тоже должны быть истинны т.е.
Рассмотрим предложенные ответы, подставляя значения Х в неравенства и проверяя истинность полученных высказываний:
Ответ 1): 1>1 – ложь, что противоречит первому условию;
Ответ 2): 2>1 – истина, первое условие совпадает, (2<5) => (2<3), или (истина) => (истина), что является истиной (см. табл. истинности импликации). Т. е. второе условие также совпадает;
Ответ 3): 3>1 – истина, первое условие совпадает, (3<5) => (3<3) или (истина) => (ложь), что является ложью (см. табл. истинности импликации), это противоречит второму условию;
Ответ 4): 4>1 – истина, первое условие совпадает, (4<5)=>(4<3) или (истина) => (ложь), что является ложью (см. табл. истинности импликации), это противоречит второму условию.Ответ: 2.
Тема «Логические выражения и таблица истинности»
Задание № 1. Докажите, что А«В равносильно (A\/ B) /\ (A\/ B).
Для доказательства равносильности двух высказываний достаточно построить таблицу истинности для высказывания (A\/)/\(\/B) и сравнить ее с таблицей истинности эквивалентности:
| А | В | B | A\/B | A | AVB | (A\/B) /\ (A \/B) |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Последние столбцы этих функций совпадают, значит, они равносильны. ЧТД.
Задание № 2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A /\ (B \/ C)
1. A\/B\/C,
2. A/\B/\C,
3. A/\B/\C,
4. A/\B/\C. Ответ : 3
Задание № 3. Постройте таблицу истинности для логического выражения: 1)A®B«А \/ B
Ответ:
| А | В | A®B | А | A → B« А | A → B« АÚB |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
2) F=A«B«(А \/ B) /\ (B\/А).
Ответ:
| А | В | А«В | ØА | ØАÚВ | ØВ | ØВÚА | (ØАÚВ)Ù(ØВÚА) | F |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Задание № 4. Определите истинность следующего высказывания: «За окном светит солнце, и нет дождя».
Решение . Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:
А = «За окном светит солнце»,
В = «За окном дождь».
Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию. F(A, B) = A /\ B. Построим таблицу истинности для данной логической функции.
| А | В | ØВ | АÙØВ |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
Ответ : логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое простое высказывание истинно, а второе ложно.
Задание № 5. Определите истинность следующего высказывания: «Гости смеялись, шутили и не расходились по домам».
Решение . Выделим из данного сложного высказывания простые высказывания: А = «Гости смеялись», В = «Гости шутили», С = «Гости расходились по домам». Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию. F (A, B, С) = A/\ B /\C. Построим таблицу истинности для данной логической функции.
| A | B | C | C | A /\ B/\C |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Ответ : логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,1,0)=1. Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое и второе простые высказывания истинны, а второе ложно.
Задание № 6. На языке алгебры логики составьте истинное тождество, соответствующее заданному условию задачи: Школьника, Миша, остававшийся в классе на перемене, был вызван к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчик ответили следующее: «Я не бил окно, и Коля тоже…». Известно, что он либо сказал чистую правду, либо в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, либо оба факта исказил.
Решение: Пусть А = «Окно разбил Миша», В = «Окно разбил Коля», Если Миша сказал чистую правду, то А /\ В = 1. Если в одной части заявления Миша соврал, а другое его высказывание истинно, то (А /\В) \/ (А /\В) = 1. Если Миша оба факта исказил, то А/\В = 1.
Ответ: Истинное тождество, соответствующее условию задачи будет выглядеть так: А/\ В\/А/\В\/А/\ В\/А/\В = 1.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 1737; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!