Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
 |
Определение: Базисом пространства называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.
- базис пространства.
Определение: Декартовой системой координат в пространстве называется множество, состоящее из точки О и базиса пространства.
- декартова система координат в пространстве.
О – начало координат;
Ох – ось абсцисс;
Оу – ось ординат;
О z – ось аппликат.
Замечание: Любой вектор 
может быть единственным образом разложен по базисным векторам 
: 
. Числа х, у, z называются координатами вектора в данной декартовой системе координат.
Определение: Декартова система координат в пространстве называется прямоугольной, если базисные векторы попарно взаимно перпендикулярны и единичны.
– прямоугольная декартова система координат в пространстве.
.
О – начало координат;
Ох – ось абсцисс;
Оу – ось ординат;
О z – ось аппликат.
Замечание: 1. Базисные векторы 
в прямоугольной декартовой системе координат называются ортами.
2. Любой вектор может быть единственным образом разложен по ортам 
: 
. Числа х, у, z являются координатами вектора 
в данной прямоугольной декартовой системе координат.
Пример:
Дано: ABCDA1 B1 C1 D1 – куб.
; 
; 
.
M – середина AD;
H – середина DC;
F – середина AA1;
N – середина A1 B1;
K – середина B1 C1;
L – середина D1 C1;
P – середина C1 C.
Разложить векторы 
по векторам .
|
|
|
Решение:
Воспользуемся «правилом многоугольника» сложения нескольких векторов:
;
;
;
;
.
Упражнения:
1. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1. Являются ли компланарными следующие векторы:
а) 
г) 
б) 
д) 
в) 
е) 
2. В кубе ABCDA1 B1 C1 D1 за базис взяты векторы 
; 
; 
;
M – середина A1 B1; N – середина B1 C1; S – середина BC; Q – середина AD;
R – середина CD ; T – середина BB1; P – середина AB. Разложить по базису 
векторы 
.
5. Построение точек плоскости (пространства), заданных координатами
Пример:
Построить в 
точки
А(2; - 3); В ( - 1; 4); С ( - 3; - 2); D(0; - 1).
 |
Пример: Построить в 
точки
А(2; 3; 4);
В ( - 1; - 3; 3);
С (0; 4; 2);
D(0; 0; 5);
Е( - 2; 0; 6).
6. Понятие радиус-вектора точки. Разложение радиус-вектора точки по ортам
Определение; Радиус-вектором точки называется вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец с данной точкой.
Вывод:
Каждой точке плоскости (пространства) соответствует свой радиус-вектор.
Координаты радиус-вектора точки совпадают с координатами самой точки.
Сумма произведений координат радиус-вектора точки М на соответствующие орты называется разложением радиус-вектора точки М по ортам.
|
|
|
 |
Рис. 1. Рис. 2.
Рис. 1.
В 
точка М (х; у) имеет радиус-вектор 
.
Рис. 2.
В 
точка М (х; у; z) имеет радиус-вектор 
.
Упражнения:
1. Определить координаты орт в 
и 
.
2. Построить радиус-векторы точек А (2; - 1; 4); В ( - 3; 2; - 5); С (0; 0; 4).
3. Разложить радиус-векторы точек А( -1; 4; 0); В(2; - 2; 5); С (0; 3; - 2) по ортам.
4. Определить координаты радиус-векторов точек М, К, L, E, H если:
.
7. Определение координат вектора на плоскости и в пространстве
 |
Задача: Определить координаты 
в ,
если А (х1; у1) и В (х2; у2).
Дано:
;
А (х1; у1);
В (х2; у2).
Определить:
.
Решение:
Построим радиус-векторы 
точек А и В.
А (х1; у1) 
- разложение 
по ортам;
В (х2; у2) 
- разложение 
по ортам;
По правилу вычитания двух векторов можно представить в виде разности .
- разложение по ортам, где х = х2 - х1; у = у2 - у1.
Вывод: Разложить вектор по ортам, значит представить его в виде суммы произведений координат вектора на соответствующие орты.
. 
.
Правило: Чтобы определить координаты любого вектора, надо из координат конца этого вектора вычесть одноименные координаты его начала.
|
|
|
.
.
Пример: Определить координаты 
, если М ( - 3; 0; 4) и N (1; - 5; - 3).
Дано: Решение:
Воспользуемся правилом определения координат вектора:
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 205; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!