Противоположно направленные противоположные векторы

Конспекты лекций по математике

Тема: «Векторы на плоскости и в пространстве»

Понятие вектора

Векторы находят широкое применение в математике, физике, механике и других дисциплинах, упрощают вывод многих формул, решение многих задач, доказательство теорем.

Слово «вектор» происходит от латинского слова «vector» - переноситель, несущий.

Рассмотрим упорядоченную пару несовпадающих точек (А;В). Соединим точку А с точкой В и укажем направление от А к В. С помощью этой пары зададим преобразование плоскости (пространства). Каждой точке М плоскости (пространства) поставим в соответствие точку М₁ плоскости (пространства) (ее образ), которая получится в результате следующего построения: приняв точку М за начало, проводим луч т, одинаково направленный с лучом АВ. На луче т имеется единственная точка М₁, удаленная от точки М на расстояние, равное АВ.

Такое преобразование плоскости (пространства), определяемое упорядоченной парой точек называется «параллельным переносом» или «вектором».

Определение: Вектором или параллельным переносом, определяемым упорядоченной парой точек (А;В), называется преобразование плоскости (пространства), при котором каждая точка М плоскости (пространства) отображается на точку М₁ плоскости (пространства) так, что луч ММ₁ одинаково направлен с лучом АВ и расстояние ММ₁ равно расстоянию АВ.

Определение: Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает с его концом. – нулевой вектор.

Вывод:

Любой ненулевой вектор задается упорядоченной парой несовпадающих точек.
Любой ненулевой вектор изображается направленным отрезком.

Обозначение:

А – начало вектора

В – конец вектора

Определение: Направлением ненулевого вектора называется направление луча АВ.

Определение: Длиной вектора (абсолютной величиной, модулем) называется расстояние между его началом и концом.

Определение: Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором.

Вывод:

Любой ненулевой вектор характеризуется направлением и абсолютной величиной.
Длина нулевого вектора равна нулю, понятие направления не определено.

Определение: Два вектора называются одинаково направленными, если они имеют одинаковые направления. (Рис. 1)

Определение: Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые направления и длины. (Рис. 3)

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Û и

и и и

одинаково направленные векторы равные векторы

Векторы имеют одинаковую длину

Определение: Векторы, направления которых противоположны, называются противоположно направленными.

Определение: Векторы, направления которых противоположны, а длины равны, называются противоположными.

Замечание: Если и противоположные векторы, то пишут или .

Рис. 1. Рис. 2.

и |а| = |b|

и и

противоположно направленные противоположные векторы

Векторы

Действия над векторами на плоскости

2.1. Сложение векторов.

Пусть вектор отображает точку М на точку М₁; вектор отображает точку М₁ на точку М₂. Тогда существует вектор, отображающий точку М на точку М₂.

Определение: Пусть вектор отображает точку М на точку М₁; вектор отображает точку М₁ на точку М₂. Вектор, отображающий точку М на точку М₂, называется композицией векторов и .

Определение: Суммой векторов и называется композиция этих векторов.

Рис. 1. Рис. 2.

«Правило треугольника»: Чтобы сложить и по «правилу треугольника», надо от произвольной точки плоскости отложить , от конца отложить . Суммой векторов и будет вектор , начало которого совпадет с началом , конец - с концом . (Рис. 1.)

«Правило параллелограмма»: Чтобы сложить и по «правилу параллелограмма», надо от произвольной точки на плоскости отложить и и на них, как на сторонах, построить параллелограмм. Суммой векторов и будет вектор , изображаемый диагональю параллелограмма, идущей из их общего начала. (Рис. 2.)

При сложении нескольких векторов пользуются правилом многоугольника.

«Правило многоугольника»:

Чтобы сложить несколько векторов по «правилу многоугольника», надо отложить от произвольной точки плоскости первый вектор, от конца первого вектора отложить второй вектор, от конца второго – третий и т.д. Вектором суммы будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего вектора.

Пример:

Дано:

Построить:

Вычитание векторов

Определение: Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора, противоположного вектору .

Правило: Разностью двух векторов является вектор, начало которого совпадает с концом вектора – вычитаемого, а конец – с концом вектора –уменьшаемого, если они отложены от одной точки.

Умножение вектора на число

Определение: Произведением ненулевого вектора на число х, неравное нулю, называется вектор , длина которого равна , а направление совпадает с направлением , если х > 0 , и противоположно ему, если