Понятие коллинеарных векторов.
Определение: Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными.
Замечание: Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
 |
Þ 
и 
коллинеарные 
Þ 
и 
коллинеарные
Векторы векторы
Вывод: Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Необходимый и достаточный признак коллинеарности двух векторов.
Теорема: Для того, чтобы вектор 
был коллинеарен ненулевому вектору 
, необходимо и достаточно, чтобы существовало число к , удовлетворяющее условию 
.
Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам
Теорема: Любой вектор 
может быть представлен и, притом, единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов 
и .
Дано: 
и неколлинеарны;
- произвольный вектор плоскости.
Доказать:
1. 
существует;
2. 
единственным образом.
Доказательство:
1. Докажем, что разложение 
существует.
Пусть 
и коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов 
. Значит, верно равенство 
.
Пусть и коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов 
. Значит, верно равенство 
.
 | |||
 | |||
Пусть 
неколлинеарен векторам и 
( 
; 
).
Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторам 
и . Прямые, которым принадлежат векторы и 
, продолжим до пересечения с построенными прямыми, достраивая параллелограмм ОАМВ.
|
|
|
;
и 
коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов 
.
и 
коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов 
.
; , что и требовалось доказать .
2. Единственность разложения доказывается методом от противного.
Замечание : Если 
, то говорят, что вектор 
разложен по векторам и .
Базис плоскости. Декартова система координат на плоскости.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
 |
Определение: Базисом плоскости называется пара неколлинеарных векторов этой плоскости, взятых в определенном порядке.
– базис плоскости, где 
.
Определение: Декартовой системой координат на плоскости называется множество, состоящее из точки О и базиса плоскости.
– декартова система координат на плоскости .
О – начало координат;
О х – ось абсцисс;
|
|
|
О у – ось ординат.
Замечание: Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам 
и 
: 
. Числа х и у называются координатами вектора 
в данной декартовой системе координат.
Определение: Декартова система координат на плоскости называется прямоугольной, если базисные векторы взаимно перпендикулярны и единичны.
– прямоугольная декартова система координат на плоскости.
.
О – начало координат;
Ох – ось абсцисс;
Оу – ось ординат.
Замечание:
1. Базисные векторы 
в прямоугольной декартовой системе координат называются ортами.
2. Любой вектор может быть единственным образом разложен по ортам 
: 
. Числа х и у являются координатами вектора в данной прямоугольной декартовой системе координат.
Упражнения:
1. Доказать, что 
и 
коллинеарны.
2. В прямоугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD , пересекающиеся в точке О. 
, 
. Выразить через 
и 
следующие векторы: 
4. Декартова система координат в пространстве
4. 1. Понятие компланарных векторов
Определение: Ненулевые вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.
 |
Замечание: Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными.
|
|
|
Векторы 
компланарны, а векторы 
компланарными не являются.
4. 2. Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам
Теорема: Если даны три некомпланарных вектора 
, то любой вектор 
можно разложить по векторам единственным образом.
Дано: - некомпланарные векторы;
- произвольный вектор пространства.
Доказать: 1. 
- существует;
2. - единственное.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 326; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!