Тема: «Использование теорем сложения и умножения вероятностей при решении задач»

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Цель: научиться применять теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач. Формировать приемы правильного оформления работы, рациональной записи решения. Обращать внимание на грамотность использования формул, правильный анализ условия задачи. Развивать продуктивное мышление и навыки самоконтроля.

Ход работы

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А—деталь годная, В—деталь окрашенная, то АВ—деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С—появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило, и по определению, равна

, (Р (А) > 0).

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) или Р(АВ) = Р(В)Р_В(А).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: для трех событий

Р(АВС) = Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С).

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) Р_А (В) имеет вид

Р(АВ) = Р(А)Р(В),

т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

1. Бросаются три одинаковые монеты. Вычислить вероятность выпадения трёх гербов.

2. В ящике 8 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу отобранных деталей окажутся не более одной нестандартной детали.

3. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность поражения цели (цель считается поражённой при попадании в неё хотя бы одной пули).

Вариант № 2

1. Двое задумали по одному целому числу: первый от 1 до 50, второй от 51 до 100. Какова вероятность того, что оба задумали числа, кратные 2?

2. В электрическую цепь последовательно включены 3 элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны 0,1; 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

3. Какова вероятность того, что выбранное наудачу изделие окажется первосортным, если известно, что 2% всей продукции составляют нестандартные изделия, а 75% стандартных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

Вариант № 3

1. Имеются два ящика с шарами. В первом 3 белых и 7 чёрных, во втором 6 белых и 9 чёрных. Из каждого извлекаются по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

2. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

3. Вероятность того, что данный прибор проработает 500 часов, равна 0,8, а 800 часов – 0,2. Прибор проработал 500 часов. Какова вероятность того, что он проработает ещё 300 часов?

Вариант № 4

1. Один из мальчиков родился в марте, а другой – в апреле. Какова вероятность того, что оба они родились в первой неделе месяца?

2. Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания соответственно 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

3. Чему равна вероятность того, что при одновременном бросании трёх игральных костей 2 очка появятся на двух костях?

Вариант № 5

1. Из натуральных чисел, не превосходящих 100, берутся два произвольных числа. Определить вероятность того, что оба эти числа делятся на 5.

2. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трёх выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

3. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки для 1-го станка равна 0,8, для 2-го – 0,9, для 3-го – 0,75. Найти вероятность того, что на протяжении часа только один станок потребует вмешательства рабочего.

Вариант № 6

1. Какова вероятность того, что задуманное в пределах 100 целое число делится на 10 или 11?

2. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4-х выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

3. Вероятность того, что каждый из трёх друзей придёт в условленное место, соответственно равна р₁=0,8; р₂=0,4; р₃=0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трёх друзей.

Вариант № 7

1. Имеются 5 букв: р, е, г, й, о. Какова вероятность того, что произвольное расположение их одной за другой даёт слово «герой»?

2. В урне А белых и В чёрных шаров. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разного цвета.

3. Вероятность того, что данный прибор проработает 160 часов, равна 5/7, а 400 часов – 4/7. Прибор проработал 150 часов. Какова вероятность того, что он проработает ещё 250 часов?

Вариант № 8

1. На клумбе 20 красных астр, 10 синих и 30 белых. Какова вероятность того, что сорванная в темноте астра окажется красной или синей?

2. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час два станка потребуют вмешательства рабочего.

3. В урне А белых и В чёрных шаров. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Вариант № 9

1. Определить вероятность того, что при бросании монеты 10 раз она все десять раз упадёт одной и той же стороной.

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что за этот час лишь один станок потребует вмешательства рабочего.

3. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1, вероятность выбить 9 очков равна 0,3, вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

Вариант № 10

1. Имеется лабиринт с шестью разветвлениями пути. Из каждого разветвления идут два пути, причём один из них ведёт в тупик. Вычислить вероятность пройти по этому лабиринту, не заходя ни в один из тупиков.

2. Для сигнализации об аварии установлены 2 независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы одно устройство.

3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлечённых двух деталей будет хотя бы одна стандартная.

Вариант № 11

1. На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, К, М, О и С. Карточки перемешиваются и раскладываются на удачу в ряд. Какова вероятность того, что получилось слово «МОСКВА»?

2. Три стрелка стреляют в одну мишень, при этом вероятность попадания с одного выстрела равна соответственно 0,8, 0,7, 0,6. Найти вероятность появления в мишени двух пробоин в результате одновременного выстрела всех трёх стрелков.

3. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95 и третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы одно устройство.

Вариант № 12

1. Из урны, содержащей 5 шаров, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5 извлекаются наудачу все 5 шаров один за другим. Какова вероятность того, что номера извлечённых шаров идут в возрастающем порядке.

2. Вероятность поражения цели для данного стрелка при одном выстреле равна 0,8. Стрелок произвёл три выстрела. Найти вероятность поражения цели хотя бы одной пулей.

3. События А, В, С и Д образуют полную группу. Вероятности событий таковы: Р(А)= 0,1, Р(В)=0,4, Р(С)=0,3. Чему равна вероятность события Д?

Вариант № 13

1. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 2 билетов оба будут выигрышными.

2. Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился герб» и «появилось 4 очка».

3. Три стрелка стреляют в одну мишень. При этом известно, что вероятность попадания с одного выстрела для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Найти вероятность появления в мишени одной пробоины в результате одновременного выстрела всех трёх стрелков.

Вариант № 14

1. К концу дня в палатке осталось 60 арбузов, из которых 50 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность того, что оба арбуза спелые?

2. В сосуде имеются 11 шаров, из которых 4 цветных и 7 белых. Найти вероятность двукратного извлечения из сосуда цветного шара: а) если вынутый шар возвращается обратно; б) если вынутый шар обратно в сосуд не возвращается.

3. Рабочий обслуживает 3 станка, из которых на первом вероятность нарушения нормальной работы в течение часа после проверки составляет 0,1, на втором – 0,15, на третьем – 0,2. Найти вероятность того, что после наладки хотя бы один из станков потребует ремонта.

Вариант № 15

1. Вероятность поражения цели первым стрелком 0,8, а вторым – 0,6. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одной пули, если оба стрелка произведут по одному выстрелу.

2. Найти вероятность того, что подброшенная игральная кость падет, показав на верхней грани четное и краткое трем число.

3. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталей окажется не более одной нестандартной.

Вариант № 16

1. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков на двух игральных костях, подброшенных один раз, равна 10.

2. В двух ящиках находятся детали: в 1 – 10 (из них 3 стандартных), во 2 – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

3. В группе 25 студентов. Из них отлично успевают по математике 5 человек, хорошо – 12, удовлетворительно – 6, слабо – 2. Найти вероятность того, что студент, вызванный на удачу, будет отличник или хорошист.

Вариант № 17

1. Среди 40 деталей 5 нестандартных. Взяты на удачу 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали будут нестандартными.

2. В студии телевидения 3 видеокамеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

3. Из трех станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность остановки на протяжении одного часа составляет для одного станка 0,2, для 2 0,15 и для 3 – 0,12. Какова вероятность бесперебойной работы всех 3 станков на протяжении одного часа?

Вариант № 18

1. Студент знает 45 вопросов из 60. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все 3 вопроса.

2. Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, для 2 станка – 0,8 и для 3 – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего.

3. Найти вероятность двукратного извлечения белого шара из урны, в которой имеются 5 белых, 6 черных и 8 синих шаров, если вынутый шар обратно в урну не возвращаются.

Вариант № 19

1. На карточках написаны буквы: О, П, Р, С ,Т. Найти вероятность того, что на произвольно расположенных в одну линию карточках можно прочесть слово «спорт».

2. Найти вероятность двукратного извлечения белого шара из урны, в которой из 12 шаров имеются 7 белых: а) если вытянутый шар возвращается обратно в урну; б) если вытянутый шар в урну не возвращается.

3. Рабочий обслуживает 3 станка, которые работают независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна – 0,9, для 2 – 0,8 и для 3 – 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего?

Вариант № 20

1. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: А, Т, М, Р, С, О. Карточки перемешаны. Найти вероятность того, что на четырёх, вынутых по одной и расположенных в один ряд карточках, можно будет прочесть слово «трос».

2. Вероятность всхожести предназначенных к посеву семян равна 0,98. Вероятность попадания семян на пригодный для прорастания данного растения участок почвы равна 0,95. Какой процент семян при посеве в этих условиях даст всходы?

3. Чему равна вероятность того, что при одновременном бросании трёх монет герб появится хоть на одной монете?

Вариант № 21

1. Буквы, составляющие слово «Одесса», написаны по одной на шести карточках, тщательно перемешаны и положены в пакет. Найти вероятность того, что, вынимая карточки по одной и расставляя в ряд мы получим слово: а) сад; б) асс; в) сода.

2. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причём 86% из них первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие этого предприятия окажется изделием первого сорта.

3. Чему равна вероятность того, что при бросании 3-х игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей.

Вариант № 22

1. Какова вероятность того, что при извлечении двух карт из полной колоды 52 игральных карт обе они окажутся бубновой масти?

2. Три электрических лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

3. Пассажир, покупая билет, может только с вероятностью 0,9 рассчитывать на получение удобного для него места в вагоне. К тому же поезд может опоздать к станции назначения пассажира с вероятностью 0,01. Какова вероятность того, что пассажир в срок прибудет к месту назначения с желательными для него удобствами?

Вариант № 23

1. Монета подбрасывается 6 раз. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

2. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8 а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком, если стрелки произвели только по одному выстрелу.

3. Из цифр 2, 3, 4, 5, 6 выбирается на удачу одна, затем из остальных выбирается другая. Какова вероятность того, что обе выбранные цифры четные?

Вариант № 24

1. Тристрелка в одинаковых условиях произвели по одному выстрелу по одной цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, чтовсе три стрелка промахнутся.

2. В урне 8 шаровчерного и 12 белого цвета. Вычислить вероятность того, что при извлечении из урны двух шаров оба будут черного цвета.

3. Вероятность того, что событие А появиться хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании.

Вариант № 25

1. На двух станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше второго и что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,99, а на втором – 0,96. Изготовленные за смену на обоих станках нерассортированные детали находятся на складе. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь изготовлена на первом станке и окажется высшего качества.

2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

3. В денежно-вещевой лотерее, в которой разыгрываются 120 денежных и 80 вещевых выигшрышей, 10000 билетов. Найти вероятность того, что на приобретенный один лотерейный билет выпадет выигрыш вещевой или денежный.

Контрольные вопросы

1. Что такое множество элементарных событий?

2. Что такое сумма случайных событий?

3. Что такое произведение случайных событий?

4. Что такое разность событий?

5. Что такое множество случайных событий?

6. Что такое противоположное событие?

7. Что такое несовместные события?

8. Какова вероятность суммы двух совместных событий?

9. Какие события образуют полную группу?

10. Какова вероятность противоположного события?

11. Что такое условная вероятность?

12. Как выражается условная вероятность через безусловную?

13. Как связаны условные вероятности двух независимых событий?

14. Какова формула произведения событий?

15. Чему равна вероятность появления хотя бы одного события из независимых в совокупности событий?

Практическая работа № 4

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 705; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!