Тема: «Использование теорем сложения и умножения вероятностей при решении задач»

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Цель: научиться применять теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач. Формировать приемы правильного оформления работы, рациональной записи решения. Обращать внимание на грамотность использования формул, правильный анализ условия задачи. Развивать продуктивное мышление и навыки самоконтроля.

Ход работы

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В—несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A_l + A₂+... + A _п ) = P(A₁) + P{A₂)+...+P{A _п ).

Теорема. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, ..., А_п, образующих полную группу, равна единице:

P (A_l + A₂+... + A _п ) = P(A₁) + P{A₂)+...+P{A _п ) = 1

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р(Ā)=1.

Замечание 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы

р + q = 1.

Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события Ā, а затем найти искомую вероятность по формуле

Р(А) = 1 - Р(Ā).

Решить задачи согласно своего варианта:

Вариант № 1

1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10 000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

2. Какова вероятность, что задуманное в пределах 100 целое число делится на 10 или на 11?

3. Из полной колоды игральных карт (52) извлекается наудачу одна карта. Найти вероятность того, что эта карта окажется: 1) тузом, 2) пиковой масти, 3) пиковым тузом.

Вариант № 2

1. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

2. Из полного комплекта домино (28 костей) извлекается наудачу одна кость. Чему равна вероятность того, что сумма очков на обеих половинах не более 5?

3. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что взятый наудачу студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?

Вариант № 3

1. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

2. Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не менее 10 очков?

3. Какова вероятность того, что среди вынутых наудачу 4 карт из полной колоды карт ровно две окажутся принадлежащими пиковой масти?

Вариант № 4

1. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

2. Телефонная линия, соединяющая районный центр с колхозом, имеет длину 12км. Во время грозы произошло повреждение на этой линии. Найти вероятность того, что повреждение произошло на первых трех километрах от районного центра.

3. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

Вариант № 5

1. События А, В, С и D образуют полную группу. Вероятности событий таковы: Р(А)=0,1; Р(В)=0,4; P(C) = 0,3. Чему равна вероятность события D?

2. Известно, что из 100000 атомов полония самопроизвольно распадается в течение суток 495. Найти вероятность того, что за сутки атом полония не распадется.

3. У сборщика имеется 10 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них 4 первого, по 2 второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что из шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, две второго и одна третьего?

Вариант № 6

1. По статистическим данным ремонтной мастерской, в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10—для смены резца; 3—из-за неисправности привода; 2 — из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам.

2. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того, что оба раза появится одинаковое число очков.

3. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают одновременно два шара. Найти вероятность того, что шары одного цвета.

Вариант № 7

1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10 билетов – выигрыш по 100 руб., на 50 билетов – выигрыш по 20 руб., на 100 билетов – выигрыши по 5 руб., остальные билеты не выигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

2. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма выпавших очков будет не менее 9.

3. Студент знает 45 из 60 вопросов. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает хотя бы два вопроса.

Вариант № 8

1. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй – 0,008; в третий – 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

2. Из урны, содержащей 10 занумерованных шаров, наугад вынуты один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку.

3. Определить вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных костей сумма выпавших очков будет более 6.

Вариант № 9

1. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую – 0,23, в третью – 0,17. Найти вероятность промаха.

2. В урне 5 белых и 4 черных шаров. Из урны вынимают сразу 5 шаров. Определить вероятность того, что хотя бы один из них будет белым.

3. Из полной колоды игральных карт (52) извлекается наудачу две карты. Найти вероятность того, что эти карты окажутся: 1) тузами, 2) пиковой и червовой масти, 3) пиковым и червовым тузами.

Вариант № 10

1. Парламентская комиссия состоит из 30 депутатов: 10 представителей коммунистической партии, 5 социалистов и 15 зеленых. Председатель комиссии обирается жеребьевкой. Найти вероятность того. Что это не будет представитель левой партии.

2. Бросаются три одинаковые монеты. Определить вероятность выпадения только одного герба.

3. В урне 8 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что будет хотя бы один белый шар.

Вариант № 11

1. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

2. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,4, а вероятность выбить 9 очков равна 0,7. Чему равна вероятность выбить меньше 9 очков?

3. Бросаются три одинаковые монеты. Определить вероятность выпадения только двух гербов.

Вариант № 12

1. Найти вероятность того, что наудачу взятое число кратно 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

2. В урне 8 белых и 10 черных шаров. Из урны вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что будет хотя бы один черный шар.

3. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешали. Найти вероятность того, что наугад извлеченный кубик будет иметь три окрашенных грани.

Вариант № 13

1. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

2. Из 10 мальчиков и 8 девочек должно быть выделено для участия в туристском походе 5 человек. Определить вероятность того, что будут выделены 2 мальчика и 3 девочки.

3. Задумано некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа будет равна 6?

Вариант № 14

1. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным.

2. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешали. Найти вероятность того, что наугад извлеченный кубик будет иметь хотя бы одну окрашенную грань.

3. Задумано некоторое трехзначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа будет равна 8?

Вариант № 15

1. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 5, либо 4, либо тому и другому одновременно.

2. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Среди них один выигрыш в 50 грн., 5 по 20 грн., 20 выигрышей по 10 грн. И 50 выигрышей по 5 грн. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 10 грн.

3. Определить вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных костей произведение выпавших очков будет более 10.

Вариант № 16

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку с вероятностью 0,2, в восьмерку с вероятностью 0,6. Сделан один выстрел. Какова вероятность того, что выбито не менее восьми очков?

2. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Среди них один выигрыш в 50 грн., 5 по 20 грн., 20 выигрышей по 10 грн. И 50 выигрышей по 5 грн. Некто покупает один билет. Найти вероятность какого-либо выигрыша.

3. Задумано некоторое трехзначное число. Какова вероятность того, что все цифры этого числа будут одинаковыми?

Вариант № 17

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку с вероятностью 0,2, в восьмерку с вероятностью 0,6. Сделан один выстрел. Какова вероятность того, что выбито более восьми очков?

2. Из тщательно перемешанных косточек домино (28) наудачу берется одна. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков на ней будет: 1) равна 6; 2) более 10 очков?

3. Из полной колоды карт (52), тщательно перемешанных, извлекают 6 карт. Найти вероятность того, что среди них будет король пик.

Вариант № 18

1. В день физкультурника Сизов пошел на стадион. Можно было купить билет на футбол с вероятностью 0,3, билет на волейбол с вероятностью 0,4, или купить билет на волейбол с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что Сизов попал на соревнование?

2. В группе 10 дружинников. Среди них 7 юношей и 3 девушки. Путем жеребьевки должны быть избраны 4 дружинника. Чему равна вероятность того, что среди них не окажется девушек?

3. Задумано некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что произведение цифр этого числа будет равна 6?

Вариант № 19

2. На девяти карточках написаны цифры от 0 до 8. Две из них вынимаются и укладываются на стол в порядке появления слева направо. Найти вероятность того, что полученное число будет четным

3. Из полной колоды карт (52), тщательно перемешанных, извлекают 6 карт. Найти вероятность того, что среди них будет туз пик.

Вариант № 20

1. В мастерской работают три станка. За смену первый станок может потребовать накладки с вероятностью 0,15. Для второго станка эта вероятность равна 0,1, а для третьего станка – 0,12. Найдите вероятность того, что за смену хоть один станок потребует наладки, считая, что одновременно станки наладки потребовать не могут.

3. Из полной колоды карт (52), тщательно перемешанных, извлекают 6 карт. Найти вероятность того, что среди них будет туз и король пик.

Вариант № 21

1. Берется наудачу трехзначное натуральное число от 100 до 999. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

2. Из урны, содержащей 5 шаров, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, извлекают наудачу все 5 шаров один за другим. Какова вероятность того, что номера извлеченных шаров идут в возрастающем порядке?

3. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов: 1) один выигрышный; 2) хотя бы один выигрышный.

Вариант № 22

1. В цехе работает несколько станков. Вероятность того, что за смену потребует наладки ровно один станок, равна 0,2. Вероятность того, что за смену потребует наладки ровно два станка, равна 0,13. вероятность того, что за смену потребуют наладки больше двух станков, равна 0,07. Какова вероятность того, что за смену придется проводить наладку станков?

2. Шесть человек случайным образом рассаживаются на скамейке. Найти вероятность того, что два фиксированных лица окажутся рядом.

3. Из полной колоды карт (52), тщательно перемешанных, извлекают 4 карты. Найти вероятность того, что все из них будут тузы.

Вариант № 23

1. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3, а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?

2. Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных костей сумма выпавших очков будет не менее 9.

3. Участники жеребьевки тянут жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры 3.

Вариант № 24

1. Два стрелка, для которых вероятность попадания в мишень равна 0,8 и 0,7, производят по одному выстрелу в мишень. Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

2. Телефонный номер состоит из семи цифр. Найти вероятность того, что первая цифра номера – двойка.

3. Группа туристов из 15 юношей и 5 девушек выбирает по жребию хозяйственную команду из четырех человек. Найти вероятность того, что в числе избранных окажутся два юноши и две дувушки.

Вариант № 25

1. Имеется три ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика вынимают наудачу по одной детали. Найти вероятность того, что три вынутые детали окажутся стандартными.

2. Найти вероятность того, что наудачу взятая кость из игры домино содержит число не менее 4 и не более 6.

3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при тех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

Контрольные вопросы

1. Что такое множество элементарных событий?

2. Что такое сумма случайных событий?

3. Что такое произведение случайных событий?

4. Что такое разность событий?

5. Что такое множество случайных событий?

6. Что такое противоположное событие?

7. Что такое несовместные события?

8. Какова вероятность суммы двух совместных событий?

9. Какие события образуют полную группу?

10. Какова вероятность противоположного события?

11. Что такое условная вероятность?

12. Как выражается условная вероятность через безусловную?

13. Как связаны условные вероятности двух независимых событий?

14. Какова формула произведения событий?

15. Чему равна вероятность появления хотя бы одного события из независимых в совокупности событий?

Практическая работа № 3

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 959; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!