Уравнения прямой в пространстве

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

1. Уравнения прямой, проходящей через точку и параллельной вектору .

Пусть произвольная точка прямой, тогда ,

и по условию коллинеарности векторов (см.2.1.2)

Уравнения (5) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор называется направляющим вектором прямой.

2. Параметрические уравнения прямой получим, приняв каждое из отношений (5) параметру t:

(6)

3. Уравнения прямой, проходящей через две точки и :

4. Общие уравнения прямой:

Угол между прямой и плоскостью Ax+By+Cz+D=0

Уравнения прямой на плоскости.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент , где - угол наклона прямой к оси ОХ.

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках на осях Х

, где a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнения пучка прямых, проходящих через заданную точку :

Угол , отсчитанный против часовой стрелки от прямой до прямой определяется формулой

Условие перпендикулярности

Условие параллельности

Решение типового варианта.

Задача№3.

Даны координаты точек A,B,C,D.

Найти: а) угол между векторами ;

б) площадь треугольника АВС;

в) высоту треугольника АВС, опущенную из вершины С;

г) объем пирамиды ABCD;

д) высоту пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание АВС.

А(-1,2,3), В(4,-1,3), С(2,0,5), D(7,8,-1)

Решение:

а)

б) Площадь треугольника АВС, построенного на векторах

в) Известно, что , значит ,

г)

=5(8-12)+3(-12-16)=-20-84= - 104

д)

Задача №4.

Составить уравнение плоскости проходящей через точку А и перпендикулярно вектору А(1;4;-2), B(6;7;0), C(8;6;3).

Решение.

–нормальный вектор к искомой плоскости (см. 2.2.1.)

Пусть точка M(x,y,z) – произвольная точка искомой плоскости, и по условию перпендикулярности векторов 2(х-1)+(-1)(y-4)+3(z+2)=0, 2x-2-y+4+3z+6=0,

2x-y+3z+8=0 - уравнение искомой плоскости.

Задача №5.

Даны координаты точек A,B,C,D.

Найти: а) уравнение плоскости, проходящей через точки А,В,С;

б) расстояние точки D до плоскости АВС;

в) угол между плоскостью АВС и плоскостью 5x-3y+7z-3=0

А(1;1;3), В(-2;1;4), С(-1;2;3), D(-1;1;5).

Решение:

а) В искомой плоскости возьмём некоторую точку M(x,y,z), тогда вектора

лежат в искомой плоскости, значит компланарны.

Запишем условие компланарности трёх векторов (см. 2.1.4.):

(x-1)(0-1)-(y-1)(0+2)+(z-3)(-3+0)=0

-x+1-2y+2-3z+9=0

X+2y+3z-12=0 – уравнение плоскости АВС, её нормальный

вектор .

б) Найдем расстояние точки D до плоскости АВС. (см. 2.2.1. формула (4))

в) угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

Задача №6.

Прямая задана общими уравнения.

Найти: а) канонические и параметрические уравнения прямой ;

б) найти угол между прямой и прямой :

Решение:

а) Прямая задана как пересечение плоскостей (1) и (2) с нормальными векторами соответственно. .

Направляющий вектор прямой ортогонален и , найдем его как векторное произведение (см. 2.1.3).

Для простоты возьмём направляющим вектором противоположный

Найдем какую-нибудь точку, лежащую на , т.е. удовлетворяющую условиям (1) и (2).

Пусть z=0, тогда Сложим уравнение, получим 2х=8, х=4, значит y=-4. Точка принадлежит искомой прямой, параллельной вектору Пусть точка M(x,y,z) некоторая точка искомой, тогда вектор коллинеарен вектору . Запишем условие коллинеарности двух векторов (см.2.2.2)

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид (см. 2.2.2):

б) Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами

Задача №7.

Найти точку пересечения прямой и плоскости. Найти угол между прямой и плоскостью.

Решение:

Уравнения прямой запишем в параметрическом виде (см. 2.2.2):

Выражения подставим в уравнения плоскости, решим его относительно t:

2(t+1)+3(-2t-1)+6t-1=0, 2t+2-6t-3+6t-1=0, 2t=2, t=1.

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости , подставим найденное значение t в параметрические уравнения, получим x=2, y=-3, z=6, т.е. Угол между прямой и плоскостью находим по формуле (9) пункта 2.2.2. Направляющий вектор прямой , нормальный вектор плоскости .