Обратные матрицы. Элементарные преобразования.
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Методические указания
по теме:
«Линейная , векторная алгебра и аналитическая геометрия»
Волгодонск
Определители матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений.
Определители и их свойства. Вычисления определителей.
Определителем n-го порядка называется число 
, записанное в виде квадратной таблицы
вычисляется по правилу (1), которое будет дано ниже. Элементы определителя обозначают 
, где i-номер строки, j- номер столбца, на пересечении которых располагается .
Любую строку или столбец определителя называют рядом.
Главной диагональю определителя называется совокупность элементов 
, 
, … 
.
Минором 
элемента называется определитель (n-1)-го порядка 
полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическое дополнение 
элемента определяется равенством: 
Правила вычисления :
Для n=2 
Для n=3 
Для произвольного n 
(1)
Например:
Перечислим основные свойства определителей:
1. Сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю.
|
|
|
Эти равенства (как и формулу (1)) можно считать правилом вычисления определителя. Первое из них называется разложением 
по его элементам i -той строки, а второе- разложением по элементам j -го столбца;
2. значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами и наоборот;
3. если поменять местами два параллельных ряда определителя то он изменит знак на противоположный;
4. определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;
5. если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то последний можно вынести за знак определителя;
6. если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель так же равен нулю;
7. определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю;
8. определитель не измениться, если ко всем элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на одно и то же произвольное число.
Матрицы и операции над ними.
Прямоугольная таблица, составленная из 
элементов
некоторого множества, называется матрицей и записывается в виде
|
|
|
или 
Первый индекс i элемента обозначает номер строки, а второй j- номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице.
Перечислим основные операции над матрицами.
1. Сложение и вычитание матриц.
Эти операции определяются только для матриц одинаковой размерности. Суммой ( разностью) матриц Аи В называется матрица С, элементы которой 
, где и 
-соответственно элементы матриц А и В.
Пример:
, 
, 
2. Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы А и числа L, обозначаемым LA, называется матрица В, элементы которой 
, где - элементы матрицы А. Размерности матриц А и В равны.
Пример:
, L=-3 
3. Произведения матриц.
Произведением матриц 
и 
называется матрица 
элементы которой
Произведение 
существует только в том случае, когда первый множитель имеет столько столбцов, сколько второй строк.
Пример:
Обратные матрицы. Элементарные преобразования.
Квадратная матрица порядка n
называется невырожденной, если её определитель (детерминант)
В случае, когда det A=0, матрица А называется вырожденной.
Матрица 
называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если 
, где Е-единая матрица порядка n:
|
|
|
Известно, что для невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица , которая определяется формулой
Матрица 
называется присоединенной, состоит из алгебраических дополнений 
элементов матрицы А, записанных в транспонированном виде (строки замены столбцами с теми же номерами).
Пример:
Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, найти обратную ей матрицу и проверить выполняемость равенств .
Решение:
матрица А невырожденная.
Далее находим алгебраическое дополнение элементов матрицы А.
Обратная матрица:
Элементарными называются следующие преобразования матриц:
1. Поменять местами любые 2 параллельных ряда матрицы;
2. Умножить каждый элемент ряда на один и тот же множитель 
3. Прибавить у элементам ряда матрицы соответствующие элементы любого другого параллельного ряда. Ряд-это строка или столбец матрицы.
4. Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;
5. Если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то последний можно вынести за знак определителя;
|
|
|
6. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель также равен нулю;
7. Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю;
8. Определитель не изменится, если ко всем элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на одно и то же произвольное число d.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 192; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!