Модуль: уравнения и неравенства

Арифметическая прогрессия

Последовательность, у которой задан первый член a ₁, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:

a_n ₊₁ = a_n + d , где d – разность прогрессии.

a_n = a₁ + d(n – 1)	a_n = a_k + d(n – k)
2a_n = a_n-1 + a_n+1	a_n + a_m = a_k + a_l, если n + m = k + l

Геометрическая прогрессия

Определение: Последовательность, у которой задан первый член b ₁ ¹ 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ¹ 0, называется геометрической прогрессией:

b_n ₊₁ = b_n q, где q – знаменатель прогрессии.

b_n = b₁ q^{n – 1}	b_n = b_k q^{n – k}
b_n² = b_n-1 b_n+1	b_n b_m = b_k b_l, если n + m = k + l
	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Степень

Определение

, если n – натуральное число

a – основание степени, n - показатель степени

Формулы

Арифметический квадратный корень

Определение

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( ) - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.

Квадратное уравнение:

ax ² + bx + c = 0

Дискриминант: D = b ² – 4 ac

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение: x ² + px + q = 0

x₁ + x₂ = - p

x ₁ × x ₂ = q

x₁+x₂ = -b/a

x₁× x₂ = c/a

Логарифм

Определение

Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое , что .

a - основание логарифма (a > 0, a ¹ 1),

b - логарифмическое число ( b > 0)

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм: где e = 2,71828

Формулы

Дроби

Сложение

Деление с остатком:

	Признак	Пример
На 2	Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой	…….6
На 4	Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4.	……12
На 8	Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8.	…..104
На 3	Числа, сумма цифр которых делится на 3.	570612
На 9	Числа, сумма цифр которых делится на 9.	359451
На 5	Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.	…….5
На 25	Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25.	……75
На 10	Числа, оканчивающиеся нулём.	……0

Формула деления с остатком: n = m × k + r, где n – делимое, m - делитель, k - частное, r – остаток: 0 £ r < m Пример: Любое число можно представить в виде: n = 2 k + r, где r = {0; 1} или n = 4 k + r, где r = {0; 1; 2; 3}