Задания для самостоятельной работы

⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 29Следующая ⇒

Задание 1.Переведите данные числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Вещественные числа перевести в новую систему счисления с точностью до четвертого знака.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Числа	860	250	759	216	530	945	287	485	639	618
Числа	78,15	57,17	82,21	33,38	25,27	85,14	20,18	90,42	48,28	55,49

Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Числа	772	233	218	898	557	737	575	563	453	572
Числа	76,45	43,86	77,35	71,41	30,19	92,24	74,23	30,18	41,29	36,73

Задание 2.Переведите числа из заданной системы счисления в десятичную.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7
Числа	1740₈	2671₈	1216₈	2534₈	1627₈	5142₈	1416₈
	А2С,8₁₆	48E,4₁₆	14F, A₁₆	3FD,9₁₆	553,E₁₆	19F,C₁₆	16D,8₁₆
	10110,11₂	1011,101₂	11100,011₂	10101,01₂	11110,111₂	10001,01₂	11000,11₂

Вариант	8	9	10	11	12	13	14
Числа	2037₈	1720₈	1361₈	1315₈	1072₈	1501₈	1510₈
	196,B₁₆	14F,7₁₆	19A,6₁₆	14C,7₁₆	2A3,B₁₆	3AB,A₁₆	1BA,5₁₆
	11010,011₂	10011,11₂	11101,01₂	11101,01₂	10110,111₂	10101,101₂	11010,11₂

Вариант	15	16	17	18	19	20
Числа	3207₈	4510₈	1023₈	2506₈	1053₈	3260₈
	186,C₁₆	42D,1₁₆	49A,C₁₆	15C,4₁₆	2E3,D₁₆	32B,F₁₆
	11110,11₂	10010,11₂	11001,011₂	10101,111₂	10011,11₂	10001,11₂

Задание 3. Переведите данные числа из десятичной системы счисления в двоично-десятичную.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Числа	585	285	905	483	88	325	464	342	749	817
	673	846	504	412	153	112	652	758	691	661
	626	163	515	738	718	713	93	430	1039	491

Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Числа	596	322	780	164	280	728	158	328	1026	853
	300	320	949	1020	700	383	177	537	725	135
	515	738	718	713	464	202	439	634	100	66

Задание 4. Переведите данные числа из двоично-десятичной системы счисления в десятичную

Вариант	1	2	3	4	5
Числа	10101010101	101010001	10010010100	1101011000	110000100
	10011000	10101010011	1000000100	100010010010	100110000111
	10000010110	11010001000	1110000	10101000110	100100011000

Вариант	6	7	8	9	10
Числа	100101100010	110010010	10110010000	100100010001	100001010001
	1001000110	1100011000	11101100101	1000111001	10000000111
	11100110110	11000010000	11100010111	1101100011	1001110001

Вариант	11	12	13	14	15
Числа	1100100110	1100000000	1000000010101	11110000100	10100110011
	1000010110	100101010110	100110010001	1100010001	100100100101
	10100010010	11101100001	1101100001	100101010001	100010010001

Вариант	16	17	18	19	20
Числа	1100110011	100110101	100000100	100110010110	100001111001
	1101100010	1010010011	10110011001	100100110010	100000010000
	10001000100	1000000100100	100000110111	110010000	11010001000

Задание 5. Запишите дополнительные коды чисел в однобайтном формате.

Вариант

Числа

119

-34

-42

-11

-60

-49

-26

-48

-41

-22

-44

Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19		20
Числа	124	51	95	57	20	70	104	87	73		101
Числа	-38	-62	-33	-19	-16	-28	-58	-45	-51	-36

Задание 6. Запишите в десятичной системе счисления целые числа, если даны их дополнительные коды.

Вариант	1	2	3	4	5
Числа	00101010	00101001	00010010	01011000	0000100
Числа	10011000	10101010	10000001	10001001	10011000

Вариант	6	7	8	9	10
Числа	00010110	0100100	00110010	00110001	00000101
Числа	10010001	10000110	1001110	10001111	10000100

Вариант	11	12	13	14	15
Числа	00100110	00110010	00010101	0010100	00100111
Числа	10000101	10010101	10110101	10001010	10011111

Вариант	16	17	18	19	20
Числа	00100011	00110110	00010010	00010010	00110001
	11011000	10100101	10111011	10010111	10001001

МОДУЛЬ 3. ОСНОВЫ ЛОГИКИ

Аннотация.

Данный раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями [1]. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики. Алгебру логику называют также алгеброй Буля, или булевой алгеброй, по имени английского математика Джорджа Буля, разработавшего в XIX веке ее основные положения. В булевой алгебре высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, X, Y. В алгебре Буля введены три основные логические операции с высказываниями? Сложение, умножение, отрицание. Определены аксиомы (законы) алгебры логики для выполнения этих операций. Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.

Целью раздела было выяснение сути алгебры логики, основных методов работы с логическими операторами, роли логики в вычислительной технике и информатике.

Краткая история

Джордж Буль (1815 - 1864)-разработал основы алгебры, в которой используются только 0 и 1 (алгебра логики, булева алгебра).

Двоичное кодирование – все виды информации кодируются с помощью 0 и 1.

Результат выполнения операции можно представить, как истинность (1) или ложность (0) некоторого высказывания.

Логика (от древнегреческого – «наука о рассуждении») – это наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности ил и ложности других высказываний.

Древнегреческий философ Аристотель с тал основоположником формальной логики, которая изучает высказывания.

Высказывание - это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Высказывания бывают простые и составные.

A – Сейчас идет дождь.

B – Форточка открыта. – простые высказывания (элементарные)

Любое высказывание может быть ложно (0) или истинно (1).

Например

Земля – планета Солнечной системы	истинно
2 + 8 <5	ложно
5 • 5 = 25	Истинно
Всякий квадрат есть параллелограмм	истинно
Всякий параллелограмм есть квадрат	Ложно
2 • 2 = 5	ложно

Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) "и", "или", "не", "если … то", "тогда и только тогда" и др.

A и B - Сейчас идет дождь и открыта форточка. A или не B - Сейчас идет дождь или форточка закрыта. Если A, то B - Если сейчас идет дождь, то форточка открыта. Не A и B - Сейчас нет дождя и форточка открыта.

A тогда и только тогда, когда B - Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка.

В классической формальной логике высказывание может быть истинно и ли ложно. Если обозначить истинное значение единицей, а ложное – нулем, то получится, что формальная логика представляет собой правила выполнения операций с нулями и единицами, т.е. с двоичными кодами. Английский ученый Джордж Буль предложи л применять для исследования логически х высказываний математические методы. Позже этот раздел математики по лучил название алгебра логики или булева алгебра.

Алгебра логики – это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, у прощают и преобразовывают логические высказывания.

Алгебра логики определяет правила выполнения операций с логическими величинами, которые могут быть равны толь ко 0 и ли 1.

Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть.

Логическое выражение – запись и ли устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины. В зависимости о т значений этих переменны х логическое выражение может принимать о дно и з двух возможны х значений: ИСТИНА (логическая 1) и ли ЛОЖЬ (логически й 0).

Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких просты х (и ли сложны х) логически х выражений, связанны х с помощью логически х операций.

Таблица истинности – задает логическую функцию, то есть правила преобразования входных логических значений в выходные.

Таблица истинности состоит из двух частей: слева перечисляются все возможные значения исходного высказывания, а в после днем столбце записывают результат выполнения логической операции для каждого из этих вариантов.

Формы мышления

Логика - это наука о формах и способах мышления. Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока. Основы формальной логики заложил Аристотель.

Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов.

Например: портфель, трапеция, ураганный ветер, персональный компьютер.

Объем понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.

По отношению друг к другу понятия делятся на сравнимые и не сравнимые (романс и кирпич, безответственность и нитка)

У сравнимых понятий бывают совместимыми или несовместимыми их объемы:(проиллюстрируем примеры с помощью кругов Эйлера–Венна).

Логическое высказывание (суждение) - это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать истинно оно или ложно.

Предложение "6 — четное число" истинное высказыванием.

Предложение "Рим — столица Франции" ложное высказывание.

Луна - спутник Земли" – истинное высказыванием.

Высказывания бывают общими, частными или единичными.

Общее высказывание начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. «Все рыбы умеют плавать»- общее высказывание.

Частное высказывание начинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство, и т.п. «Некоторые медведи- бурые» - частное высказывание.

Во всех других случаях высказывание является единичным. «Буква А-гласная»-единичное высказывание.

Высказывания могут быть простыми и сложными.

Примеры простых высказываний: Лето очень жаркое. Снегири прилетели. Идет дождь.

Примеры сложных высказываний: Пришла весна, и появились подснежники. Если я хорошо сдам экзамены, то поступлю в институт.

Сложные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) «и», «или», «не», «если … то», «тогда и только тогда» и др. Высказывания обозначаются заглавными буквами А, В, С и т.д.

Например: А- высказывание «Тимур поедет летом на море», В- высказывание «Тимур летом отправится в горы».

Основные логические связки и их обозначения

Логическая связка	наименование	Обозначение
Логическая связка	наименование	Будем использовать	Встречаются в литературе
НЕ	Инверсия		ØА
ИЛИ	Дизьюнкция	АÚВ
И	коньюнкция	А&В	АÙВ
ЕСЛИ-ТО	Импликация	А®В
РАВНОСИЛЬНО	эквиваленция	А«В	º

Обозначение составных высказываний

высказывание	Краткая запись
Тимур летом поедет на море	А
Тимур летом не поедет на море
Тимур летом отправится в горы	В
Тимур летом не отправится в горы
Тимур летом поедет на море или отправится в горы	АÚВ
Тимур летом поедет на море и отправится в горы	А&В
Неверно что, Тимур летом поедет на море или отправится в горы
Неверно что, Тимур летом поедет на море и отправится в горы
Тимур летом не поедет на море или отправится в горы	АÚВ
Тимур летом не поедет на море и отправится в горы	А&В
Неверно что, Тимур летом не поедет на море или отправится в горы
Неверно что, Тимур летом не поедет на море и отправится в горы

Истинность или ложность составных (сложных) высказываний определяется по истинности или ложности входящих в него элементарных высказываний с помощью алгебры логики.

Задание. В соответствии со схемой составить наборы сравнимых понятий.

1. Записать и обозначить элементарные высказывания. Из них составить составные, отвечающие логическим выражениям:

А		В
АÚВ		А&В
ÚВ

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Пример: Все металлы – простые вещества. Литий – металл. Следовательно, литий – простое вещество.

Алгебра высказываний

Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. В алгебре простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные (А, В, С и т.д.).

Логическая переменная – это простое высказывание.
Логические переменные обозначаются прописными и строчными латинскими буквами (a-z, A-Z) и могут принимать всего два значения – 1, если высказывание истинно, или 0, если высказывание ложно.

Пример высказываний:

Земля-планета солнечной системы (истинное высказывание)

А=1

3+6>10 (ложное высказывание)

В=0

Логическая функция – это сложное высказывание, которое получается в результате проведения логических операций над простыми высказываниями.

Для образования сложных высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».

Например,

F(A,B)={лил дождь и дул холодный ветер}=A и B.

А В

Многие люди не любят сырую погоду.

Пусть А = «Многие люди любят сырую погоду». Получаем логическую функцию F(A) = не А.

Связки "НЕ","И","ИЛИ" заменяются логическими операциями инвер- сия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Логическая формула (логическое выражение) - формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).

Значение логической функции зависит от значений входящих в нее логических переменных. Поэтому значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

Основные логические операции

3.4.1. Логическое умножение (конъюнкция) , от лат. conjunctio - соединение.

- Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза И;

- В языках программирования - And.

- Принятые обозначения: /\, •, &,и, and.

- В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств.

Таблица истинности

Диаграмма Эйлера-Венна

Например

A	B	F=AÙB
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

{2·2=4 и 3·3=10} А=1, В=0, F=0

Конъюнкция истинна тогда и только тогда, все, входящие в нее высказывания А и B истинны одновременно.

Пример: Рассмотрим составное высказывание «2 • 2 = 4 и 3 • 3 = 10». Выделим простые высказывания:

А = «2 • 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание).

В = «3 • 3 = 10» = 0 (т.к. это ложное высказывание).

Поэтому, логическая функция F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание ложное.

Таблица истинности логического выражения Х – это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой комбинации.

3.4.2. Логическое сложение (дизъюнкция) – от лат. disjunctio - разъединение.

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза ИЛИ; в языках программирования - Or. Обозначение: \/, +, или, or.

В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств.

Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, все, входящие в нее высказывания ложны. Т.е. высказывание "A и B" истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно.

Пример: Рассмотрим составное высказывание «2•2=4 или 2•2=5».

Выделим простые высказывания:

А = «2 • 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание),
В = «2 • 2 = 5» = 0 (т.к. это ложное высказывание).

Поэтому, логическая функция F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание истинно.

3.4.3. Отрицание (инверсия), от лат. InVersion – переворачиваю:

Соответствует частице НЕ, словосочетаниям НЕВЕРНО, ЧТО или НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ИСТИНОЙ, ЧТО; в языках программирования- Not; Обозначение: не А, А, not.

В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества.

Инверси я логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.

Пример:

А = {два умножить на два равно четырем} = 1.

A= {Неверно, что два умножить на два равно четырем}= 0.

Рассмотрим высказывание А : "Луна - спутник Земли"; тогда А будет формулироваться так: "Луна - не спутник Земли".

Рассмотрим высказывание: «Неверно, что 4 делится на 3». Обозначим через А простое высказывание «4 делится на 3». Тогда логическая форма отрицания этого высказывания имеет вид А.

3.4.4. Импликация (следование, → ,«ЕСЛИ ..., ТО ...») Высказывание "A ® B" ложно только если А истинно, а В ложно.

А	В	А®В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

3.4.5 Эквивалентность (~,«)

Высказывание "A « B" истинно тогда и только тогда, когда А и B равны.

А	В	А~В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

3.4.6 Операция "исключающее ИЛИ"

Высказывание "AÙB" истинно тогда, когда истинно А или B, но не оба одновременно.

Дата добавления: 2019-09-08; просмотров: 397; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12 13 14 15 161718 19 20 21 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!