Арифметические операции в различных системах счисления

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 29Следующая ⇒

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом.

Правила выполнения арифметических действий для всех позиционных систем счисления одинаковы и совпадают с правилами для десятичной системы счисления. При этом можно пользоваться таблицами сложения и умножения для системы счисления с основанием q.

Для q = 2, 8 и 16 таблицы сложения и умножения представлены ниже.


	0	1
0	0	1
1	1	10


	0	1
0	0	0
1	0	1

q = 2

q = 8

q = 16

Основные действия в двоичной арифметике.

Сложение	Вычитание	Умножение	Деление
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0 ∙ 0 = 0	0 : 1 = 0
0 + 1 = 1	1 – 0 = 1	0 ∙ 1 = 0	1 : 1 = 1
1 + 0 = 1	1 – 1 = 0	1 ∙ 0 = 0
1 + 1 = 10	10 – 1 = 1	1 ∙ 1 = 1

Пример.

Сложение

Если результат сложения двух цифр в системе счисления с основанием q больше q (т. е. полученное число двузначное), то старшая цифра результата равна 1. Таким образом, при сложении в следующий разряд может переходить только единица, а результат сложения в любом разряде будет меньше, чем q. Результат сложения двух положительных чисел имеет столько же значащих цифр, что и максимальное из двух слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой может быть только единица.

Сложить числа:

Примеры.

1. 1001100112+ 11010012 = 1100111002 ,

2. 723,38 + 467,538 = 1413,038 ,

3. 3B9,616 + 78С,816 = В45,Е16.

4. 45₈+ 36₈ = 103₈ ₁

45 5+6=11₁₀=1∙8+3=13₈

36 4+3+1=8₁₀=1∙8+0=10₈

103

8. 38₁₆ + 25₁₆ = 5D₁₆

38 8+5=13₁₀=D₁₆

25 3+2=5

1. 5. 274₈ + 76₈ = 372₈ _{1 1}

274 4+6=10₁₀ = 1∙8+2 = 12₈

76 1+7+7=15₁₀=1∙8+7 = 17₈

372 2+1=3

9. 78C₁₆ + 9B₁₆ = 827₁₆ _{1 1}

78C C+B=12+11=23₁₀=1∙16+7=17₁₆

9B 1+8+9=18₁₀=1∙16+2=12₁₆

827

6. 521₈ + 377₈ = 1120₈ _{1 1}

521 1+7=8₁₀=1∙8+0=10₈

377 1+2+7=10₁₀=1∙8+2 = 12₈

1120 1+5+3=9₁₀=1∙8+1 = 11₈

10. B8C4₁₆ + F9D₁₆ = C861₁₆ _{1 1 1}

B8C4 4+D=4+13=17₁₀=1∙16+1=11₁₆

F9D 1+C+9=1+12+9=22₁₀=1∙16+6=16₁₆

C861 1+8+F=1+8+15=24₁₀=1∙16+8=18₁₆

1+B=1+11=12₁₀=C₁₆

7. 1А,24₁₆ + 31,B5₁₆ = 4B,D9₁₆

1А,24 4+5=9

31,B5 2+B=2+11=13₁₀=D₁₆

4B,D9 A+1=10+1=11₁₀=B₁₆

1+3=4

11. F47₁₆ + D98₁₆ = 1CDF₁₆

F47 7+8=15=F

D98 4+9=13=D

1CDF F+D=15+13=28₁₀=1∙16+12=1C₁₆

Вычитание

Если необходимо вычесть из цифры a цифру b и а ≥ b, то в столбце b таблицы сложения ищем значение числа а. Самая левая цифра в строке, в которой найдено значение числа а, и будет результатом вычитания. Если же a < b, то нужно заимствовать единицу из левого разряда, поэтому в столбце ищем число 1а, и левая цифра в соответствующей строке будет результатом вычитания.

Примеры:

Выполнить вычитание чисел:

1. 1100000,0012 – 101101,12 = 110010,1012 ,

2. 1510,28 – 1430,738 = 57,258 ,

3. 25Е,D816 – 171,616 = ED,7816 .

4. 235₈ – 71₈ = 144₈ _{∙ 8}

235 5-1=4

71 8+3-7=4

144

8. A5₁₆ – 19₁₆ = 8C₁₆ _{∙ 16}

A5 16+5-9=12₁₀=C₁₆

1 9

8 C

5. 213₈ – 46₈ = 145₈ _{∙ ∙ 8}

213 8+3-6=5

46 8+0-4=4

145

9. 57C₁₆ – 8F₁₆ = 4ED₁₆ _{∙ ∙ 16}

57C 16+C-F=16+12-15=13₁₀=D₁₆

8F 16+6-8=14₁₀=E₁₆

4ED

6. 1435₈ – 746₈ = 467₈ _{∙ ∙ ∙ 8}

1435 8+5-6=7

746 8+2-4=6

467 8+3-7=4

10. 9A23₁₆ – ABC₁₆ = 8F67₁₆ _{∙ ∙ ∙ 16}

9 A 2 3 16+3-C=16+3-12=7

A B C 16+1-B=16+1-11=6

8 F 6 7 16+9-A=15₁₀=F₁₆

Умножение

Умножение многозначных чисел выполняется аналогично «в столбик». Умножение этим способом сводится к перемножению однозначных чисел и сложению.

Примеры:

1. 100112 ∙ 1001012 = 10101111112 ,

2. 1176,48 ∙ 45,38 = 56467,748 ,

3. 62,B16 ∙ 70,D16 = 2B7D,2F16.

4. 53₈ · 4₈ = 254₈ ₁

53 3·4=12₁₀=1∙8+4=14₈

4 5·4+1=21₁₀=2∙8+5=25₈

254

8. 15₁₆ · 6₁₆ = 7E₁₆ ₁

15 5·6=30₁₀=1·16+14=1E₁₆

6 1·6+1=7

5. 175 ₈· 0,5₈ = 116,1₈ _{4 3}

175 5·5=25₁₀=3∙8+1=31₈

0,5 7·5+3=38₁₀=4∙8+6=46₈

116,1 1·5+4=9₁₀=1∙8+1=11₈

9. 149₁₆ · 89₁₆ = B011₁₆

149 9·9=81₁₀=5·16+1=51₁₆

89 4·9+5=41₁₀=2·16+9=29₁₆

B91 1·9+2=11₁₀=B₁₆

A48 9·8=72₁₀=4·16+8=48₁₆

B011 4·8+4=36₁₀=2·16+4=24₁₆

1·8+2=10₁₀=A₁₆

9+8=17₁₀=1·16+1=11₁₆

1+B+4=1+11+4=16₁₀=1·16+0=10₁₆

6. 24₈ · 16₈ = 430₈

24 4·6=24₁₀=3∙8+0=30₈

16 2·6+3=15₁₀=1∙8+7=17₈

170

24 7+4=11₁₀=1∙8+3=13₈

430 1+1+2=4

10. 24E₁₆ · 12₁₆ = 297C

24E E·2=14·2=28₁₀=1·16+12=1C₁₆

12 4·2+1=9

49C 2·2=4

24E 9+E=9+14=23₁₀=1·16+7=17₁₆

297C 1+4+4=9

7. 623₈ · 41₈ = 31763₈

623 3·4=12₁₀=1∙8+4=14₈

41 2·4+1=9₁₀=1∙8+1=11₈

623 6·4+1=25₁₀=3∙8+1=31₈

3114

31763

11. A,5₁₆ · 2,B₁₆ = 1B,B7₁₆

A,5 5·B=5·11=55₁₀=3·16+7=37₁₆

2,B A·B+3=10·11+3=113₁₀=7·16+1=71₁₆

7 1 7 5·2=10₁₀=A₁₆

1 4 A A·2=10·2=20₁₀=1·16+4=14₁₆

1 B,B 7 1+A=B

7+4=11₁₀=B₁₆

Деление

Как для умножения, так и для деления нужны обе таблицы – умножения и сложения в соответствующей системе счисления. Само деление выполняется уголком с последующим вычитание сомножителей.

Примеры.

Выполнить деление:

1. 110101112 : 1010112=1012

2. 462308 : 538 = 7108;

3. 4C9816 : 2B16 =1C816.

Деление на однозначные числа

1) 52₈ : 3₈ = 16₈

52₈

3₈

16₈

1·3=3

6·3=18₁₀=2∙8+2=22₈

2) 313₈ : 7₈ = 35₈

313₈

7₈

35₈

7·3=21₁₀=2∙8+5=25₈

5·7=35₁₀=4∙8+3=35₈

3) 334₁₆ : A₁₆ = 52₁₆

334₁₆

A₁₆

52₁₆

5·A=50₁₀=3·16+2=32₁₆

2·A=20₁₀=1·16+4=14₁₆

Деление на многозначные числа

4) 250₈ : 16₈ = 14₈

250₈

16₈

14₈

4₈·16₈=70₈

₃

4 6·4=24₁₀=3·8+0=30₈

70 1·4+3=7

5) 1552₈ : 23₈ = 56₈

1552₈

23₈

137

56₈

162

5₈·23₈=137₈

₁

23 3·5=15₁₀=1·8+7=17₈

5 2·5+1=11₁₀=1·8+3=13₈

137

162

6₈·23₈=162₈

₂

23 3·6=18₁₀=2·8+2=22₈

6 2·6+2=14₁₀=1·8+6=16₈

162

6) 5E8₁₆ : 12₁₆ = 54₁₆

5E8₁₆

12₁₆

54₁₆

5₁₆·12₁₆=5A₁₆

12 2·5=10₁₀=A₁₆

4₁₆·12₁₆=48₁₆

7) 63C₁₆ : 39₁₆ = 1C₁₆

63C₁₆

39₁₆

1C₁₆

63₁₆-39₁₆=2A₁₆

2AC

_{∙ 16}

63 16+3-9=10₁₀=A₁₆

2AC

C₁₆·39₁₆=2AC₁₆

₆

39 9·C=108₁₀=6·16+12=6C₁₆

C 3·C+6=42₁₀=2·16+10=2A₁₆

2AC

8) 6EF5₁₆ : 5F₁₆ = 12B₁₆

6EF5₁₆

5F₁₆

12B₁₆

6E₁₆-5F₁₆=F₁₆

_{∙ 16}

6E 16+E-F=16+14-15=15₁₀=F₁₆

415

2₁₆·5F₁₆=BE₁₆

₁

5F F·2=15·2=30₁₀=1·16+14=1E₁₆

2 5·2+1=11₁₀=B₁₆

FF₁₆-BE₁₆=41₁₆

FF F-E=15-14=1

BE F-B=15-11=4

4 1

B₁₆·5F₁₆=415_16AF·B=15·11=165₁₀=10·16+5=A5₁₆

415

5·B+A=5·11+10=65₁₀=4·16+1=41₁₆

Формы представления чисел

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел – естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой) и нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

В естественной форме положение в разрядной сетке (общее число разрядов, отведенное для представления чисел, с указанием местоположения каждого из них) запятой, отделяющей целую часть числа от дробной части, постоянно для всех чисел. Диапазон значащих чисел небольшой и при m-разрядной целой части и s-разрядной дробной части числа без учета знака составляет от P^-s до P^m - P^-s. Кроме того, если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. Следовательно, необходимо прогнозировать результаты обработки с целью соответствующего масштабирования исходных данных. По этим причинам естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.

В нормальной форме каждое число представляется как N = ±MP^±^R, где М – мантисса числа (|M|<1), R – порядок (целое число), Р – основание системы счисления. Абсолютное значение порядка определяет число разрядов, на которое смещена запятая, отделяющая целую часть числа от дробной части, а знак порядка – направление смещения этой запятой. Таким образом, с изменением значения порядка запятая меняет своё положение, как бы "плавает" в изображении числа. Диапазон значащих чисел весьма велик и при m-разрядной мантиссе и s-разрядном порядке (без учета знаков порядка и мантиссы) составляет от до . В связи с этим нормальная форма представления является основной в современных ЭВМ.

Пример .

Приведем несколько равенств: левая часть равенства – число в естественной форме, правая часть – в нормальной форме. Для записи естественной формы используются 5 разрядов в целой части и 5 разрядов в дробной части.

+00721,35500 = +0,721355∙10³;

+00000,00328 = +0,328∙10^-2;

-10301,20260 = -0,103012026∙10⁵.

В соответствии с двоичным представлением в информатике введены специальные единицы измерения объемов информации, хранимой или обрабатываемой в ЭВМ (таблица 2).

Последовательность нескольких битов или байтов часто называют полем данных. В ПК могут обрабатываться поля постоянной и переменной длины.

Таблица 2. Единицы измерения объемов данных

Кол.двоич. разрядов	1	8	16	8∙1024 (8∙2¹⁰)	8∙1024² (8∙2²⁰)	8∙1024³ (8∙2³⁰)	8∙1024⁴ (8∙2⁴⁰)
Ед. измерения	Бит	Байт	Параграф	Килобайт (Кбайт)	Мегабайт (Мбайт)	Гигабайт (Гбайт)	Терабайт (Тбайт)

Поля постоянной длины могут быть следующих размеров (форматов): слово (4 байта), полуслово (2 байта), полуторное слово (6 байт), двойное слово (8 байт), расширенное слово (10 байт). В полях постоянной длины числа с фиксированной запятой чаще всего имеют формат слова (рис.1а) и полуслова и заполняют формат справа налево. Оставшиеся свободными старшие разряды формата заполняются нулями. В крайнем левом разряде формата отображается знак числа, при этом знак "+" кодируется нулем, а знак "-" – единицей. Числа с плавающей запятой чаще всего имеют формат двойного (рисунок 1 б) и расширенного слова. Порядок заполняет соответствующую часть формата справа налево, а мантисса – слева направо. Оставшиеся свободными младшие разряды мантиссы формата заполняются нулями.

a)№ разряда	Знак	Абсолютная величина числа
a)№ разряда	31	30	29	. . .	1	0

б) № разряда	Порядок				Мантисса
	Знак	Абс. величина			Знак	Абс. величина
	63	62	. . .	56	55	54	. . .	0

Рисунок 1. Структура формата слово со знаком для чисел с фиксированной (а) и плавающей (б) запятой

При выполнении операций ввода-вывода данные часто представляются в двоично-десятичной системе счисления – когда каждая цифра десятичного числа отображается 4-разрядным двоичным числом. Двоично-десятичные числа представляются полями переменной длины в так называемых упакованном и распакованном форматах. В упакованном формате для каждой десятичной цифры отводится 4 двоичных разряда, при этом знак числа кодируется в крайнем правом полубайте (1100 – знак "+" и 1101 – знак "-"). Упакованный формат используется обычно в ПК при выполнении арифметических операций над двоично-десятичными числами. В распакованном формате для каждой десятичной цифры отводится байт, представляющий собой (кроме младшего байта) адрес соответствующей ячейки таблицы символов. В старшем полубайте адреса кодируется номер столбца, а в младшем – номер строки этой таблицы. Старший полубайт младшего (правого) байта используется для кодирования знака. Распакованный формат используется в ПК при вводе-выводе информации. Поля переменной длины могут иметь любой размер от 0 до 256 байт, но обязательно равный целому числу байтов.

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2^k-1 - 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от -128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.

Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Дата добавления: 2019-09-08; просмотров: 997; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 121314 15 16 17 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!