Правило перевода дробных чисел (неправильных дробей)

 

Напомним, что неправильная дробь имеет ненулевую дробную часть, т.е. у нее числитель больше знаменателя.

Результат перевода неправильной дроби всегда неправильная дробь.

При переводе отдельно переводится целая часть числа, отдельно – дробная. Результаты складываются.

 

Пример 1. Выполнить перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 19,847. Перевод выполнять до трех значащих цифр после запятой.

Представим исходное число как сумму целого числа и правильной дроби:

19,847 = 19 + 0,847.

Как следует из примера 2 раздела Перевод целых чисел 19 = 13₁₆, а в соответствии с примером 2 разделаПеревод правильных дробей 0,847 = 0,D8D₁₆.

Тогда имеем:

19 + 0,847 = 13₁₆ + 0,D8D₁₆ = 13,D8D₁₆.

Таким образом, 19,847 = 13,D8D₁₆.

 

Правила выполнения простейших арифметических действий

 

Арифметические операции для двоичных и шестнадцатеричных чисел выполняются по тем же правилам, что и для десятичных чисел, которые хорошо знакомы читателю. Рассмотрим на примерах выполнение таких арифметических операций, как сложение, вычитание и умножение для целых чисел.

Правила сложения

Таблица сложения двоичных цифр имеет вид (желтым цветом выделены значения суммы):

	0	1
0	0	1
1	1	10

 

Пример 1. Сложить двоичные числа 1101 и 11011.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

 

номера разрядов:	5	4	3	2	1
слагаемые:		1	1	0	1
	1	1	0	1	1

 

Процесс образования суммы по разрядам описан ниже:

а) разряд 1: 1₂ + 1₂ = 10₂; 0 остается в разряде 1, 1 переносится в разряд 2;

б) разряд 2: 0₂ + 1₂ + 1₂ = 10₂, где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в разряд 3;

в) разряд 3: 1₂ + 0₂ + 1₂ = 10₂, где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

г) разряд 4: 1₂ + 1₂ + 1₂ = 11₂, где третья 1₂ – единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в разряд 5;

д) разряд 5: 1₂ + 1₂ = 10₂; где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в разряд 6.

Таким образом: 1 1 0 1₂ +1 1 0 1 1₂ = 10 1 0 0 0₂.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и суммы (см. Перевод целых чисел):

1101₂ = 1*2³ +1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13;

11011₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

101000₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 32 + 8 = 40.

Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

 

Таблица сложения некоторых шестнадцатеричных чисел имеет вид (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

 

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F	10
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E	1F
10	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E	1F	20

 

Пример 2. Сложить шестнадцатеричные числа 1С и 7В.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

 

номера разрядов:	2	1
слагаемые:	1	С
	7	В

 

Процесс образования результата по разрядам с использованием приведенной таблицы описан ниже :

а) разряд 1: С₁₆ + В₁₆ = 17₁₆; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

б) разряд 2: 1₁₆ + 7₁₆ + 1₁₆ = 9₁₆, где вторая 1₁₆ – единица переноса.

Таким образом: 1 С₁₆ + 7 В₁₆ = 9 7₁₆.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата (см. Перевод целых чисел):

1С₁₆ = 1*16¹ + 12*16⁰ = 16 + 12 = 28;

7В₁₆ = 7*16¹ + 11*16⁰ = 112 + 11 = 123;

97₁₆ = 9*16¹ + 7*16⁰ = 144 + 7 = 151.

Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

Правила вычитания

При вычитании используются таблицы сложения, приведенные ранее.

 

Пример 3. Вычесть из двоичного числа 101 двоичное число 11.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке “уменьшаемое – вычитаемое” и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

 

номера разрядов:	3	2	1
уменьшаемое:	1	0	1
вычитаемое:		1	1

 

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1: 1₂ – 1₂ = 0₂;

б) разряд 2: поскольку 0 < 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 результата рассчитывается как 10₂ – 1₂ = 1₂;

в) разряд 3: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде 3 остался 0.

 

Таким образом: 1 0 1₂ - 1 1₂ = 1 0₂.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По таблице (или с помощью Перевод целых чисел)имеем:

101₂ = 5; 11₂ = 3; 10₂ = 2.

Поскольку 5 – 3 = 2, вычитание выполнено верно.

 

Пример 4. Вычесть из шестнадцатеричного числа 97 шестнадцатеричное число 7В.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке “уменьшаемое – вычитаемое” и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

 

номера разрядов:	2	1
уменьшаемое:	9	7
вычитаемое:	7	В

 

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1: поскольку 7₁₆ < В₁₆ и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 17₁₆ – В₁₆ = С₁₆;

б) разряд 2: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 8₁₆. Тогда разряд 2 результата рассчитывается как 8₁₆ – 7₁₆ = 1₁₆.

Таким образом: 9 7₁₆ - 7 В₁₆ = 1 С₁₆.

Для проверки результата используем данные из примера 2.

Таким образом, вычитание выполнено верно.

Правила умножения

 

Таблица умножения двоичных цифр приведена ниже (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

 

	0	1
0	0	0
1	0	1

 

Пример 5. Перемножить двоичные числа 101 и 11.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

 

номера разрядов:	3	2	1
сомножители:	1	0	1
		1	1

 

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 101₂ * 1₂ = 101₂;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 101₂ * 1₂ = 101₂ ;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов:

 

слагаемые:		1	0	1
	1	0	1
сумма:	1	1	1	1

 

Для проверки результата найдем полные значения сомножителей и произведения (см. таблицу):

101₂ = 5; 11₂ = 3; 1111₂ = 15.

Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 101₂ * 11₂ = 1111₂.

 

Пример 6. Перемножить шестнадцатеричные числа 1С и 7В.

Используем таблицу умножения шестнадцатеричных чисел (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

 

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	100
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	108	114
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	109	116	123
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	108	116	124	132
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	100	114	123	132	141

 

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

 

номера разрядов:	2	1
сомножители:	1	С
	7	В

 

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (для простоты записи у чисел не показан атрибут шестнадцатеричной системы счисления):

а) умножение на разряд 1 дает результат:

1С*В = (10+C) * B = 10*B+C*B = (1*B)*10+C*B = B0+84 = 134;

б) умножение на разряд 2 дает результат:

1С*70 = (10+C)*7*10 = 10*7*10+C*7*10 = 700+540 = С40;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов:

134+ С40 = D74.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 2 и правилами формирования полного значения числа:

1С₁₆ = 28; 7В₁₆ = 123;

D74₁₆ = 13*16² + 7*16¹ + 4*16⁰ = 3444.

Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С₁₆ * 7В₁₆ = D74₁₆.

 

Сложение по модулю

 

Важной операцией в информатике является сложение по модулю. Это операция арифметического сложения, при котором единица переноса в старший разряд, если таковая образуется при поразрядном сложении, отбрасывается. Обычно при выполнении этой операции конкретизируют, о каком модуле идет речь, например, по модулю 10, или по модулю 2, или по модулю 16. Обозначается эта операция ⊕.

Таблица сложения двоичных чисел по модулю 2 приведена ниже (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

	0	1
0	0	1
1	1	0

Пример 7. Сложить по модулю 2 двоичные числа 10 и 11.

Сложение выполним поразрядно:

1) разряд единиц: 0⊕1 = 1;

2) разряд десятков: 1⊕1 = 0.

Таким образом, 10₂⊕11₂ = 01₂. Чтобы подчеркнуть, что в сложении участвовали двухразрядные слагаемые, в результате оставляются обе цифры.

Таблица сложения десятичных чисел по модулю 10 приведена ниже (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
2	2	3	4	5	6	7	8	9	0	1
3	3	4	5	6	7	8	9	0	1	2
4	4	5	6	7	8	9	0	1	2	3
5	5	6	7	8	9	0	1	2	3	4
6	6	7	8	9	0	1	2	3	4	5
7	7	8	9	0	1	2	3	4	5	6
8	8	9	0	1	2	3	4	5	6	7
9	9	0	1	2	3	4	5	6	7	8

 

Пример 8. Сложить по модулю 10 десятичные числа 59 и 152.

Сложение выполним поразрядно:

1) разряд единиц: 9⊕2 = 1;

2) разряд десятков: 5⊕5 = 0;

3) разряд сотен: 0⊕1 = 1.

Таким образом, 59⊕152 =101.

---

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 207; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!