Основные методы интегрирования.

Лекция 3. Неопределённый интеграл.

Неопределенный интеграл.

Понятие первообразной функции

И неопределённого интеграла.

К числу важных задач механики относится задача об определении закона движения материальной точки по заданной её скорости, а также задача об определении закона движения и скорости материальной точки по заданному её ускорению.

Эти задачи приводят к математической проблеме отыскания функции по заданной производной этой функции.

Определение 1. Функция называется первообразной функцией для функции на интервале , если в любой точке х этого интервала функция дифференцируема и имеет производную .

Например, функция является первообразной для функции , так как . Очевидно, что если - первообразная функция для функции на множестве X, то функция , где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции , , так как . Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых (каждому числовому значению Ссоответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 1). График каждой первообразной (кривой) называется, интегральной кривой.

Теорема 1. Если , - первообразные для функции на некотором интервале , то на этом интервале найдется такое число C, что справедливо равенство .

Доказательство.Так как , , то , то есть .

Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции , определенных на интервале , называется неопределенным интегралом от функции на данном интервале и обозначается .

В этом обозначении знак называется знаком интеграла, выражение - подынтегральным выражением, а сама функция - подынтегральной функцией.

Если - некоторая первообразная для , то пишут .

Подчеркнём, что если первообразная (а стало быть и неопределённый интеграл) для функции на интервале существует, то подынтегральное выражение представляет собой дифференциал любой из этих первообразных .

Основные свойства неопределенного интеграла.

Прежде всего отметим два свойства, непосредственно вытекающие из определения неопределённого интеграла. Дифференциал от неопределенного интеграла ранен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

1. и .

Действительно,

и .

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Действительно,

Следующие два свойства обычно называют линейными свойствами интеграла:

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

Действительно, пусть и , тогда

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Таблица интегралов.

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций. Методы нахождения первообразных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать. Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования).