Функции распределения в математической статистике.



2.6.1. Распределение хи-квадрат ( )

Случайная величина, представляющая собой сумму квадратов n независимых случайных величин  (  каждая из которых подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием  и дисперсией , называется случайной величиной, распределенной по закону  (“хи - квадрат”) с  степенями свободы:

(*)

Число степеней свободы обозначает число независимых слагаемых суммы , образующих переменную с распределением . Если в выражении (*) все n слагаемых независимы, то число степеней свободы .

Пусть независимые нормально распределенные случайные величины с математическим ожиданием  и дисперсией . Положив в выражении (*), что  получим случайную величину

распределенную по закону  с n степенями свободы.

Примем без доказательства, что случайная величина  имеет распределение  с  степенями свободы.

Распределение вероятностей величины  является непрерывным и ассиметричным (рис. 17). Оно определяется одним параметром - число степеней свободы . Число степеней свободы должно составлять, по меньшей мере, 1. Чем больше , тем более симметрично распределение . С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному, хотя некоторая правосторонняя асимметрия проявляется постоянно.

                                 

 

 

Рис.17 Функция распределения в зависимости от числа степеней свободы k.

 

Математическое ожидание случайной величины с распределением  и  степенями свободы равно числу степеней свободы.

Дисперсия случайной величины с распределением  и  степенями свободы равна удвоенному числу степеней свободы.

Дифференциальная функция распределения сложна и интегрировать ее является весьма трудоемким процессом, поэтому созданы специальные таблицы распределения  (см. приложение 4). По таким таблицам, для требуемой по условиям опыта доверительной вероятности (уровня значимости) и числу степеней свободы, находят критическое значение , для которого выполняется условие (вероятность того, что случайная величина  превысит значение  равна уровню значимости ). Значение  является границей некоторой критической области определяемой неравенством . Например, для числа степеней свободы  и 95% доверительной вероятности (уровень значимости ) критическое значение  т.е. для выбранного уровня доверительной вероятности случайная величина , найденная по выборке объема n, должна быть меньше 12,59. На рис. 17 графически показаны доверительная вероятность, уровень значимости и значение , соответствующие этому примеру.

                

Рис. 17. 95% доверительная вероятность и 5% уровень значимости для

 распределения.

 

Чтобы разобраться с понятием критической области, необходимо, хотя бы коротко, определить такие понятия, как нулевая и конкурирующая гипотезы, статистический критерий.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 193; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!