Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака с известным средним квадратическим отклонением находят по формуле
t – параметр, величину которого находят по таблицам Лапласа (см. приложение 3) из соотношения 
=2Φ(t).
Приведенная формула позволяет решать следующие задачи:
1. По заданным надежности 
и объему выборки n находить точность 
и доверительный интервал.
2. По заданным надежности 
и точности δ находить объем выборки n.
3. По заданным точности δ и объеме выборки n находить надежность .
2. При определении доверительного интервала в случае нормального распределения при неизвестном σ признака X в генеральной совокупности применяют случайную величину
. ( n<30)
Эта величина соответствует закону t – распределения Стьюдента.
Дифференциальная функция распределения T обозначается S( 
; n) и зависит только от объема выборки n.
Вероятность попадания случайной величины в соответствующий интервал равна
Доверительный интервал для оценки математического ожидания в этом случае находят по формуле
где 
= t( ; n) – числа, приведенные в специальных таблицах.
Примечание. При большом объеме выборки (n ≥ 30) значения 
таблицы Стьюдента и t таблицы Лапласа практически равны. Поэтому выбор формулы, по которой определяют доверительный интервал, диктуется исходными данными
Пример. Для определения средней живой массы трехмесячного теленка определенной породы были взвешены 100 животных и результаты сведены в таблицу
| Масса, кг | 23-25 | 25-27 | 27-29 | 29-31 | 31-33 | 33-35 | 35-37 |
| Число телят, гол | 3 | 10 | 6 | 16 | 15 | 30 | 20 |
|
|
|
Найти:
1. Величины, которые следует принять за среднюю массу и среднее квадратическое отклонение.
2. Стандартную ошибку выборки и коэффициент вариации.
3. Доверительный интервал, который с вероятностью 0,95 заключает среднюю массу.
Решение:
1. В качестве приближенного значения средней массы принимаем выборочную среднюю, а за значение признака – середины интервалов
Вычисляем выборочную исправленную дисперсию
Находим исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение
2. Стандартная ошибка выборки равна 
Коэффициент вариации
показывает, что изменчивость признака средняя.
3. Поскольку n = 100 > 30 и у нас случай нормального распределения, то доверительный интервал находим по формуле
Из условия 2Φ(t) = 0,95 определяем Φ(t) = 0,475,
а по таблице приложений находим t = 1,96.
Поэтому
или 31,32 < 
< 32,68 кг – доверительный интервал для заданной вероятности.
Объём выборки. Для определения n необходимо задать надежность (доверительную вероятность) оценки и точность (предельную ошибку выборки) 
.
Объём выборки находят из формулы, выражающей предельную ошибку выборки через дисперсию признака. Например, для повторной выборки при оценке генеральной средней с надёжностью эта формула имеет вид:
|
|
|
, откуда 
, где 
Необходимый объём выборки для получения достоверных результатов можно вычислить по формуле:
Как видно из формул, для определения обёма выборки необходимо знать характеристику генеральной совокупности 
, которая не известна и для определения которой предполагается провести выборочное наблюдение. В качестве этой характеристики обычно используют выборочное данное 
, т.е. полагают 
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 176; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!