Установившаяся фильтрация упругой жидкости
VI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ОДНОРОДНОЙ
СЖИМАЕМОЙ (УПРУГОЙ) ЖИДКОСТИ И ГАЗА
1. Дифференциальные уравнения установившейся фильтрации
упругой жидкости и газа по закону Дарси
Составим дифференциальное уравнение фильтрации однородного сжимаемого флюида в однородной пористой среде на основе уравнения неразрывности потока (2.11)
(6.1)
и уравнений движения (2.4)
, 
, 
, (6.2)
т.е. считаем фильтрацию сжимаемого флюида r=r(Р) по закону Дарси, процесс изотермический (Т=const), при этом вязкость флюида и проницаемость зависят от давления , т.е. m=m(Р) и k=k(Р).
Введем обобщенную функцию давления 
следующим образом. Примем, что ее дифференциал
, (6.3)
тогда
(6.4.)
будем называть обобщенной функцией Лейбензона.
Так как функция 
и давление Р зависят от координат и времени, то равенство (6.3) можно записать в следующем развернутом виде, используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных:
.
Из сравнения коэффициентов при dx, dy, dz, dt получаем
; 
; 
;
. (6.5)
Запишем выражения для массовых скоростей фильтрации с использованием (6.5)
; 
;
. (6.6)
|
|
|
Далее, подставив (6.6) в уравнение неразрывности (6.1). получим
(6.7)
или 
(6.8)
- это и есть дифференциальное уравнение неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.
В случае установившейся фильтрации 
и уравнение (6.7) принимает вид
, (6.9)
или 
, (6.10)
т.е. при установившейся фильтрации обобщенная функция Лейбензона 
удовлетворяет уравнению Лапласа.
Аналогия установившейся фильтрации сжимаемого флюида с фильтрацией несжимаемой жидкости
Введение функции Лейбензона в уравнения позволяет установить аналогию между установившейся фильтрацией сжимаемого флюида и установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости.
В дальнейшем принимаем, что проницаемость среды и динамический коэффициент вязкости флюида постоянны, т.е. k=const и m=const, а плотность флюида r=r(Р). Тогда можно ввести функцию Лейбензона как
, (6.11)
при этом 
. (6.12)
|
|
|
Запишем закон Дарси для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в дифференциальной форме (1.15) через расход
, (6.13)
где Q=const; w(S) - площадь поперечного сечения струйки.
При установившейся фильтрации сжимаемого флюида по всей длине струйки массовый расход сохраняется постоянным:
Qm= rQ = const.
Умножив обе части равенства (6.13) на плотность флюида r(Р) и используя соотношение (6.12), имеем
, Qm =const. (6.14)
Легко видеть, что выражения (6.13) и (6.14) являются однотипными дифференциальными уравнениями, в которых объемному расходу Q несжимаемой жидкости соответствует массовый расход Qm сжимаемого флюида, а давлению в уравнении (6.13) соответствует функция Лейбензона 
в уравнении (6.14).
Уравнения движения (6.2) для несжимаемой жидкости связывают скорость фильтрации V с давлением Р, а для сжимаемого флюида – массовую скорость фильтрации 
c функцией Лейбензона 
в уравнениях (6.6).
Отсюда вывод (аналогия): все формулы, полученные для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемого флюида в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях, заменив соответствующие параметры:
|
|
|
| Несжимаемая жидкость | Сжимаемый флюид |
| Объемный расход – Q Давление - Р Объемная скорость фильтрации - V | Массовый расход - Qm
Функция Лейбензона - 
Массовая скорость фильтрации - 
|
При этом помним, что при фильтрации сжимаемого флюида под давлением Р понимается абсолютное давление.
Установившаяся фильтрация упругой жидкости
Прежде всего найдем выражение функции Лейбензона для упругой (слабосжимаемой) жидкости, описываемой уравнением состояния (2.14):
. (6.15)
Если 
, то можно взять уравнения состояния упругой жидкости в виде (2.15). Тогда из (6.15) получаем следующее выражение для функции Лейбензона
. (6.16)
Подставив (6.16) в дифференциальное уравнение (6.9), получим
. (6.17)
Как следует из выражения (6.17), при установившейся фильтрации упругой жидкости плотность можно считать постоянной, поэтому при решении практических задач с установившейся фильтрацией упругой жидкости можно пользоваться формулами для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости. Однако в случае фильтрации упругой жидкости в пласте с очень высоким пластовым давлением и при большой депрессии, следует использовать функцию Лейбензона (6.15), поскольку возможны большие погрешности.
|
|
|
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 482; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!