Нормальні процеси і процеси перебросу

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Зміст

Вступ

1. Основи статистики фононів

1.1 Фонони

1.2 Наближення Ейнштейна и Дебая

2. Нормальні процеси і процеси перебросу

3. Вплив N-процесів

4. Облік нормальних процесів

4.1 Релаксаційний метод

4.2 Варіаційний метод

4.3 Метод Гюйє і Крумхансла

Висновки

Список використаної літератури

Вступ

Однією з характерних особливостей розвитку сучасного суспільства є широке використання у всіх його сферах досягнень науки і техніки. Важливий вклад у науково-технічний прогрес вносить фізика, зокрема фізика твердого тіла.

Фізика твердого тіла — це великий і важливий розділ сучасної фізики, який вивчає структуру і фізичні властивості речовин у твердому стані. Основне завдання фізики твердого тіла зводиться до встановлення зв'язку між властивостями індивідуальних атомів чи молекул і тими властивостями, які проявляються при об'єднанні цих атомів або молекул в кристали. Важко собі уявити розвиток таких напрямків науки і техніки, як фізика напівпровідників, металів, надпровідників, металургія, матеріалознавство, електроніка, мікро- та оптоелектроніка тощо без фізики твердого тіла.

Постійно створюються і впроваджуються в практику принципово нові матеріали і прогресивні технології. Це, насамперед, надчисті металеві, надпровідні, напівпровідникові матеріали, різні полімерні матеріали і вироби з них, жароміцні та хімічно стійкі замінники металів, порошкові матеріали, тугоплавкі сполуки тощо. Зростаючі потреби сучасної техніки в нових матеріалах істотно стимулюють розвиток фізики твердого тіла як науки матеріалознавчої. Досить нагадати, що завдяки розвитку фізики і хімії твердого тіла ми маємо тепер такі важливі нові матеріали, як рідкі кристали, високотемпературні надпровідники, органічні напівпровідники, провідники і надпровідники тощо.

Тому не дивно, що майже половина всіх фізиків планети працюють у різних областях фізики твердого тіла.

Якщо раніше тверді тіла застосовувалися в техніці майже виключно як конструкційний матеріал, то в міру накопичення знань про фізику твердого тіла, технічні застосування останнього стають набагато обширнішими і різноманітнішими. Зараз тверді тіла грають самостійну роль, виконуючи функції тонких фізичних приладів (оптичних, напівпровідникових, надпровідних і т. д.).

Впорядкованість будови кристалічних твердих тіл і пов'язана з цим анізотропія їх властивостей зумовили широке застосування кристалів в науці і техніці.

Кристали дозволили з'ясувати фізичну природу рентгенівських променів, вивчити хвилеві властивості електронів, дали можливість провести широкий комплекс досліджень в поляризованому світлі, допомогли розгадати багато інших загадок науки.

Вивчення властивостей твердого тіла відкриває можливості створення нових матеріалів, яких не створила природа. Сюди відносяться жароміцні або, навпаки, дуже легкоплавкі сплави, надтверді матеріали, речовини, що володіють цікавими електричними властивостями (напівпровідники), магнітними властивостями (феромагнетики і ферити), речовини, що володіють високою хімічною стійкістю, нові універсальні стеклокристалічні матеріали — ситалли, металокерамічні матеріали — кермети, що поєднують як властивості вогнетривких оксидів, так і властивості металів, полімери з наперед заданими властивостями і т.д.

Основи статистики фононів

Фонони

Коливання N атомів кристала можна виразити через суперпозицію 3N нормальних коливань, або мод. Оскільки кожне нормальне коливання з механічної точки зору можна подати як гармонічний осцилятор, то повна енергія коливань дорівнює сумі енергій коливань 3N гармонічних осциляторів, що не взаємодіють між собою. Згідно з квантовою механікою, енергія осцилятора, що коливається з частотою ω _j( ),

(1.1)

а повну енергію коливань кристала можна записати у вигляді суми

(1.2)

де n — 0, 1, 2, 3, ..., — хвильовий вектор, який може: набувати N різних значень; j — індекс вітки коливань.

Одним з основних результатів квантового підходу дослідження властивостей кристалів є концепція квазічастинок. Квазічастинки перебувають в тому об'ємі, в якому знаходиться система реальних частинок, бути поза системою вони не можуть. Рух кожної окремої квазічастинки ідентичний руху великої кількості реальних частинок системи. Як і справжні частинки, квазічастинки бувають ферміонами і бозонами.

Із (1.2) видно, що енергія збудженого кристала біля основного стану є сумою енергії основного стану і енергії газу квазічастинок. Відповідно енергія збудженого стану системи нормальних коливань кристалічної решітки дорівнює різниці її повної енергії, що виражається сумою (1.2), і енергії основного (незбудженого) стану — енергії нульових коливань

З електронами провідності взаємодіють тільки ці збудження, а нульові коливання утворюють постійний незмінний фон (вакуум) кристала. Проте, коли амплітуди нульових коливань атомів стають порівнянними із сталою решітки, то такі квантові кристали набувають деяких дуже цікавих властивостей; такі властивості при певних умовах мають кристали твердого гелію.

Вираз (1.3) можна розглядати, як суму енергій ħω _j( ) певних квазічастинок, кількість яких дорівнює n. Енергія ħω _j( ) називається квантом енергії коливання решітки або фононом. Отже, фонон — це одиничне квантове збудження нормального коливання. За аналогією з фотоном (квантом електромагнітного поля) фонон можна розглядати як вільну квазічастинку. У цьому разі ∆ n = +1 означає народження фонона, а n = –1 — його знищення.

Таким чином, поки теплова енергія кристала досить мала і коливання атомів гармонічні, її можна подати у вигляді суми енергій квазічастинок — фононів, що не взаємодіють. В гармонічному наближенні фонони за багатьма своїми властивостями поводять себе, як ідеальний газ.

Фонони є акустичні і оптичні, а якщо врахувати поляризацію,— поздовжні (L) і поперечні (Т), тобто фонони бувають LA, LO, ТА і ТО. Оскільки фонон характеризується хвильовим вектором , то для нього властивий і відповідний закон дисперсії коливань ω( ), причому в тривимірному випадку (як і в одновимірному) закон дисперсії є періодичною функцією з періодом решітки. Це означає, що існує певний зв'язок між типом кристала, його симетрією і характером коливань атомів (або симетрією фононів). У вивченні фононного спектра найбільш важливим є вид дисперсії фононів в особливих точках -простору, тобто у високосиметричних точках, наприклад в точках |q| = 0, | | = тощо.

Згідно з квантовою статистикою Бозе — Ейнштейна, середнє число фононів, які мають енергію Е_ф = ħω, задається функцією

(1.4)

Формула (1.4) враховує, що хімічний потенціал рівноважного фононного газу дорівнює нулю, оскільки загальна кількість фононів у кристалі не зберігається.

Відповідно середню енергію фононів, які перебувають у стані з відомими ω і , записують як

¥ ___

©А -

(1.5)

Наближення Ейнштейна і Дебая

В основу першої квантової теорії твердих тіл покладено модель Ейнштейна (1907 p.). Згідно з нею атом кристала являє собою тривимірний гармонічний осцилятор, що виконує коливання з частотою ω_Е поблизу положення рівноваги незалежно від інших атомів. Згідно з цією моделлю, тверде тіло слід розглядати як сукупність 3N квантових осциляторів, що мають однакову частоту. Середня енергія кожного осцилятора визначається за формулою (1.5).

З рис. 1.1 видно, що частоти оптичних коливань кристалічної решітки мало залежать від хвильового вектора . Це означає, що до них можна застосувати модель Ейнштейна. За частоту коливань ω_Е осциляторів беруть ω₃, яка дорівнює граничному значенню частоти оптичної вітки коливань (рис. 1.1). В моделі твердого тіла Ейнштейна енергію кристала, який містить N атомів, записують так:

(1.6)

У виразі (1.6) введено температуру Ейнштейна

(1.7)

що відповідає збудженню фононів частоти ω_f, кількість яких експоненціально зменшується із зниженням температури.

Рис. 1.1

В моделі твердого тіла Ейнштейна вважається, що кожен атом коливається незалежно від інших. Щоб врахувати зв'язок між сусідніми атомами, П. Дебай (1912 р.) розглянув тверде тіло як суцільне пружне середовище. В такій моделі внутрішня енергія твердого тіла пов'язується не з коливаннями окремих атомів, а з стоячими пружними хвилями (модами). Квант коливальної енергії твердого тіла (фонон) переміщується з швидкістю звуку, оскільки власне звукові хвилі пружні. З рис. 1.1 видно, що для всіх значень хвильового числа q ω_ак < ω_оп, Де ω_ак — частоти акустичних коливань, що відповідають нижній вітці (раніше позначали ω_), а ω_оп — частоти оптичних коливань раніше позначали (ω₊). Енергетично це означає, що при досить низьких температурах у кристалі збуджені одні тільки акустичні коливання. Через велике число атомів спектр цих коливань можна вважати практично неперервним і таким, що змінюється від ω = 0 до ω₁ (рис. 1.1).

Якщо ввести характеристичну температуру (температура Дебая)

(1.8)

то при Т ≤ θ_d вкладом оптичних коливань в енергію кристала можна знехтувати.

Для деяких твердих тіл значення θ_d наведено в табл. 1.1.

Рівноважне число акустичних фононів з енергією ħ ω в комірці фазового простору об'ємом (2πħ)³ визначають зa формулою (1.4); число комірок фазового простору, що припадає на інтервал,

(1.9)

де V — об'єм кристала. Під фазовим простором системи розуміють 6N-вимірний простір узагальнених координат і узагальнених імпульсів системи.

Якщо вважати дисперсію акустичних частот, згідно з (1.8), лінійною функцією q і замінити три акустичні вітки коливань однією (що еквівалентно припущенню, за яким швидкість поширення трьох акустичних хвиль однакова), то (1.9) можна звести до вигляду

(1.10)

Тут множник 3 відповідає трьом акустичним модам (одній поздовжній і двом поперечним), а v — середня швидкість поширення звуку.

Таблиця 1.1

Температури плавлення, Дебая, Фермі і теплоємність

деяких твердих тіл

Кристал	Густина ¹⁾, 10³ кг/м³	Т_пл	θ_D, К	θ_F, К	С_р, Дж/ (моль•К)
Ne	1,503 (10 К)	25,4	63	—	20,79
Ar	1,656 (40 К)	83,9	85	—	20,79
C (алмаз)	3,516	сублімується	1860	—	6,12
Ge	5,324	1231	366	—	23,4
Na	0,966	370,9	150	—	28,12
K	0,862	336,3	10	—	29,51
Cu	8,933	1356	344,4	8,12•10⁴	24,47
Au	19,281	1336	161,6	6,39•10⁴	25,38
NaCl	2,167	1074	321,9	—	50,79
KBr	2,75	1003	152,8	—	51,51

¹⁾ Дані для 293 К

Вираз (1.10) можна спростити, якщо врахувати умову, що загальне число коливань в трьох акустичних вітках дорівнює 3N, тобто числу ступенів вільності кристала, що містить N атомів: = 3N . Звідси максимальна частота, що обмежує спектр нормальних акустичних коливань,

(1.11)

З урахуванням (1.4), (1.10) і (1.11) загальне число фононів в об'ємі V кристала і в інтервалі [ω, ω + dω] (що містить N атомів)

Відповідно повна енергія акустичних фононів в об'ємі

(1.12)

При одержанні (1.12) використано вираз (1.8) для температури Дебая, покладено х = ħω/k Т і введено функцію Дебая

(1.13)

При високих температурах суттєвим стає вплив оптичних коливань на значення фононної енергії кристала.

Нормальні процеси і процеси перебросу

Оскільки ħω – це квант енергії моди з частотою ω, то вираз

ω₁ + ω₂ = ω₃ (2.1.а)

представляє собою закон збереження енергії для трифонного процесу. Мода, строго кажучи, не володіє механічним імпульсом як матеріальна частинка, проте величина ħq багато в чому схожа з імпульсом. Вираз

q₁ + q₂ = q₃ + g (2.1.б)

при g = 0 якраз відповідає закону збереження імпульсу. Взаємодія, при якому g = 0, називається нормальним процесом, а взаємодію, при якій g ≠ 0, Пайерлс назвав процесом перебросу. На такі процеси ми посилатимемося як на N- і U-процеси відповідно.

Відмінність між N- і U-процесами можна проілюструвати за допомогою фігур, що зображають плоский поперечний перетин зони Бріллюена.

На рис. 2.1.а показаний вектор q₃, що представляє суму векторів q₁, і q₂, які проведені з центру зони. На рис. 2.1.б і 2.1.в початкові вектори вибрані так, що їх сума, позначена через q'₃ виходить за межі зони.

В одновимірному випадку лінійного ланцюжка було показано, що моди із значеннями q, що відрізняються на величину 2π/а, відповідають одним і тим же рухам атомів.

Аналогічно в тривимірному випадку атоми рухаються однаково, якщо значення q у мод відрізняються на вектор оберненої решітки; мода q'₃ ідентична моді q₃, що отримується збільшенням або відніманням до q'₃ величин 2π/а (для випадку простої кубічної решітки).

У U-процесах, таким чином, векторні суми в різних частинах виразу (2.1.б) повинні відрізнятися на вектор g, якщо всі фонони представлені векторами, які лежать усередині першої зони Бріллюена.

Рис. 2.1. Двовимірне зображення трьох фононних процесів.

а – результуючий вектор q, лежить в межах зони Бріллюена – нормальний процес;

б – результуючий вектор q'₃ виходить за межі зони Бріллюена – процес перекидання;

в – для прямокутної зони Бріллюена мінімальне значення q'₃, при якому відбувається U-процес, залежить від орієнтації вектора q₃.

Теплова енергія переноситься у напрямі групової швидкості фонона. У разі N-процесу напрям потоку енергії в моді q₃. очевидно, співпадає з напрямом, в якому ефективно переноситься енергія модами q₁ і q₂. Насправді, якщо взаємодія між фононами здійснюється тільки шляхом N-процесів, то кристал має нескінченну теплопровідність. Після U-процесу теплова енергія передається в напрямі, абсолютно відмінному від напряму групової швидкості в моді q₃. Такі істотні зміни q завжди приводять до відновлення рівноважного розподілу фононів.

Вплив N-процесів

Перш ніж обговорювати слабкий вплив N-процесів на теплопровідність, покажемо, що самі по собі N-процеси не приводять до кінцевої теплопровідності.

Спершу можна пояснити це твердження, провівши аналогію з перебігом газу в трубі. При зіткненнях молекул між собою виконуються закони збереження енергії та імпульсу, і тому ці зіткнення аналогічні N-процесам між фононами. Коли газ при нормальному тиску тече по трубі, його молекули постійно стикаються одна з одною і встановлюється добре відомий розподіл швидкостей, відповідний певній швидкості дрейфу. У реальній ситуації цей розподіл змінюється уздовж поперечного перетину труби, оскільки швидкість дрейфу міняється залежно відстані від осі труби. Якщо стінки труби знаходяться нескінченно далеко, або коли вони абсолютно гладкі, так що при зіткненнях молекули випробовують дзеркальне відображення, або якщо газ міститься в ящику, що проходить по трубі без тертя, то, хоча молекули як і раніше стикаються між собою, опір перебігу газу в трубі відсутній. За цих умов молекули мають певний розподіл швидкостей, який відрізняється від рівноважного розподілу Максвела – Больцмана, відповідного нульовому потоку, але яке не змінюється унаслідок молекулярних зіткнень.

Таким же чином, якщо тепло передається уподовж нескінченно великого ідеального кристала або якщо стінки кристала відображають фонони дзеркально, то N-процеси, що протікають із збереженням енергії та «імпульсу», не змінюють розподілу, який відповідає деякому потоку тепла. Цей розподіл відмінний від рівноважного розподілу Планка. Оскільки є розподіл фононів, що відповідає ненульовому потоку тепла, яке не змінюється внаслідок N-процесів, то N-процеси самі по собі не приводять до появи теплоопору.

Можна більш строго довести неефективність N-процесів за допомогою рис. 2.1.а, якщо припустити, що всі фонони мають однакові швидкості, паралельні q. Тоді ω = qυ і

У N-процесі бере участь по одному фонону з мод q₁ і q₂, так що замінюється на q₁ + q₂. Після процесу відповідає q₃. Зміна h у такому випадку буде рівна

Потік тепла, отже, не змінюється при N-процесі.

Такий простий доказ справедливий у відсутність дисперсії, але насправді результат виявляється абсолютно загальним. Один із способів показати це – досліджувати вплив N-процесів на «зміщений» фононний розподіл, що задається формулою

(3.1)

У формулі (3.1) вектор u направлений так само, як і потік тепла, і представляє собою швидкість дрейфу. Розподіл відповідає рівноважному, але в системі координат, яка рухається з швидкістю u. Такий розподіл для одновимірного випадку показаний на рис. 3.1, так що з його асиметричного вигляду ясно, що існує потік тепла в праву сторону.

Вираз для швидкості зміни N(q) внаслідок N-процесів, отримане в теорії збурень, містить вірогідність процесу, при якому фонон цієї моди з'являється як кінцевий продукт взаємодії, а також вірогідність процесу, при якому відбувається зникнення фонона цієї моди і в результаті з'являються два інших фонона. Якщо розглянути процес, при якому q₁ + q₂ → q₃, і відповідний зворотний процес, то швидкість зміни N(q₁) визначається різницею між виразом від прямих процесів

і виразом від зворотних процесів

(такі вагові множники з'являються завжди в системах, що підкоряються статистиці Бозе – Ейнштейна).

Рис. 3.1. Одновимірний асиметричний розподіл фононів,

на який не впливають N-процеси.

Розподіл відповідає потоку тепла вправо. Воно описується формулою (2.1) при u = 0,1 ω/q, Т = 100К. По ординаті відкладено число фононів на одиничний інтервал q.

Якщо підставити формулу (3.1) для N(q) в ці два вирази і взяти їх різницю, то просте обчислення приводить до результату:

він визначає швидкість зміни N(q₁). Якщо умови (2.1) справедливі при g = 0, тобто мають місце тільки N-процеси, то видно, що швидкість зміни N(q₁) перетворюється в нуль. Для всіх пар значень q₂ і q₃, які можуть брати участь в N-процесах, виходить той же результат, як при процесах q₁ → q₂ + q₃, що впливають на число фононів q₁. Зміщений фононний розподіл, що визначається формулою (3.1) і відповідає ненульовому потоку тепла, таким чином, не змінюється внаслідок N-процесів.

Той же результат можна отримати і за допомогою варіаційного принципу. Для трифононних N-процесів чисельник перетвориться на вигляд:

(3.2)

Якщо записати

(3.3)

де u ' – довільний вектор, то чисельник міститиме вираз (q₁ + q₂ – q₃) • u ', яке обертається на нуль, якщо q₁ + q₂ = q₃. При такій пробній функції тепловий опір обертається на нуль, що, звичайно, відповідає мінімуму. Таким чином, за допомогою варіаційного принципу знову знаходимо, що у випадку тільки N-процесів теплопровідність нескінченна.

Легко показати, що для малих відхилень від рівноваги вираз для N(q), отримуване за допомогою формули (3.3), співпадає з формулою (3.1). З формули (2.1) маємо

для випадку, коли мало, можна написати

Підставляючи , знаходимо

Обидва ці вирази співпадають, якщо ħu = u'. Значення u і u' довільні й визначаються величиною потоку тепла; для заданого потоку тепла відхилення від рівноважного розподілу співпадають в обох випадках.

Не слід думати, проте, що оскільки N-процеси самі по собі не приводять до появи теплового опору, то ними можна зовсім нехтувати. Вони можуть істотно впливати на теплопровідність, якщо інтенсивності інших процесів розсіяння залежать від частоти; у такій ситуації N-процеси заважають модам, які розсіюються внаслідок цих процесів, «зноситися» потоком тепла. Багато зусиль було витрачено для того, щоб пояснити, як N-процеси спільно з процесами, які приводять до опору, визначають теплопровідність.

ОБЛІК НОРМАЛЬНИХ ПРОЦЕСІВ

Релаксаційний метод

У простій формі релаксаційного методу передбачається, що кожен механізм розсіяння характеризується часом релаксації, який для даної моди не залежить від населеності фононів у всіх інших модах. Якщо є декілька механізмів розсіяння, то швидкості , , ... складаються і сумарний час релаксації τ(х), визначається виразом

Цей вираз стає, звичайно, складнішим, якщо не користуватися спрощуючими припущеннями теорії Дебая про відсутність дисперсії і квадратичний закон для щільності мод: f(ω) ~ ω².

Оскільки N-процеси самі по собі не приводять до встановлення рівноважного розподілу фононів, то вони не можуть входити в суму для τ(х) на тих же підставах, що і процеси, що ведуть до встановлення рівноваги (резистивне розсіяння). Проте ними не можна нехтувати, оскільки, перерозподіляючи енергію між модами, вони роблять відчутним для всіх мод наявність резистивних процесів розсіяння, залежних від частоти.

Для аналізу експериментальних даних по теплопровідності широко використовується розгляд Каллуея. Він припустив, що N-процеси переводять будь-який розподіл фононів, що відповідає деякому потоку тепла, в розподіл, визначуваний формулою (3.1), відповідний тому ж потоку тепла і далі вже не змінний внаслідок N-процесів. Час релаксації для таких процесів є τ_N (для простоти залежність часу релаксації від q, поляризації і температури не указується). Повна швидкість зміни N(q) дається тоді виразом

де у величину τ_R вносять внесок тільки процеси, що приводять до встановлення рівноважного розподілу N ⁰(q). У моделі Дебая Каллуей, ввівши комбінований час релаксації , отримав наступний вираз для теплопровідності:

(4.1.1)

де

(4.1.1.а)

(4.1.1.б)

Цей результат, як видно, знаходиться відповідно до твердження про те, що нормальні процеси впливають на теплопровідність, але трохи інакше, ніж чисто резистивні процеси. У формулу для ϰ₁ нормальні процеси входять на тих же підставах, як і інші процеси, оскільки між ними не робиться ніякої відмінності у виразі для τ_С. Тому зазвичай вважається, що ϰ₁ дає занижену оцінку теплопровідності, проте є другий член ϰ₂, який декілька заповнює її «втрату».

Для пояснення експериментальних результатів часто необхідно користуватися повною формулою (4.1.1); обчислення, проте, дуже громіздкі, і корисно розглянути загальні результати, які виходять в трьох граничних випадках.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 205; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!