Стационарные точки функции Лагранжа.

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

В этом пункте будет дано описаие стационарных точек функции Лагранжа (6.10) посредством фукции 0(x_m+1,x_m+2,…,x_n), введенной в пункте 6.2 (см.(6.8)).Предварительно докажем одну простую лемму из линейной алгебры.

Пусть задана система линейных однородных уравнений

a_i1x₁+…+ a_inx_n=0 i=1,2,…,m (6.16)

и еще одно линейное однродное уравнение

b₁x₁+…+ b_nx_n=0 (6.17)

Cистему уравнений , полученную присоединением к системе (6.16) уравнения (6.17), будем называть расширенной системой (6.16)-(6.17).

Лемма: Для того чтобы расширенная система (6.16)-(6.17) была равносильна основной системе (6.16) необходимо и достаточно , чтобы уравнение (6.17) являлось линейной комбинацией уравнений системы (6.16).

Следствие:Для того чтобы уравнение (6.17) было линейной комбинацией уранений (6.16) или , что то же самое , чтобы вектор

b==(b₁,…,b_n) (6.18)

был линейной комбинацией векторов

a_i ==(a_i1,…,a_in) i=1,2,…,m (6.19)

необходимо и достаточно , чтобы каждое решение системы (6.16) являлось решением уравнения (6.17).

Доказательство леммы . Пусть ранг матрицы (a_ij) коэффициентов системы (6.16) равен m₀ . Очевидно , что m₀<m . Если m₀<m, то уравнений системы (6.16) являются линейными комбинациями остальных. Отбросив те m-m₀ линейных уравнений , которые являются линейными комбинациями оставшихся , получили систему из m₀линейно независимых уравнений . равносильную системе (6.16), причем уравнение (6.17) является линейной комбинацией уравнений системы (6.16) тогда и только тогда , когда оно является линейной комбинацией указанной системы из оставшихся m₀ уравнений. Поэтому будем с самого начала считать , что , m₀=m т.е. что ранг матрицы (a_ij) коэффициентов системы (6.16) равен m– числу уравнений этой системы.

Пусть система (6.16) и (6.16)-(6.17) равносильны. Это означает, что пространства их решений совпадают.Поскольку все уравнения основной системы (6.16) входят в расширенную систему (6.16)-(6.17), то каждое решение расширенной системы является и решением основной системы , т.е. пространство решений расширенной системы содержится в пространстве решений основной системы. Следовательно , слвпадение этих пространств равносильно равенству их размерностей.

Размерность s пространства решений системы линейных днородных уравнений равны , как известно , числу неизвестных n этой системы , из которого вычтем ранг r матрицы коэффициентов системы : s=n-r.Отсюда следует , что равносильность систем (6.16) и (6.16)-(6.17) означает равенство рангов их матриц.Ранг матрицы коэффициентов системы (6.16) по условию равен m , т.е. векторы (6.19) линейно независимы.

Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы (6.16)-(6.17) согласно сказанному в наших условиях также равен m.Поэтому векторы (см.(6.18) и (6.19))

b, a₁,…, a_m (6.20)

линейно зависимы.А это означает , что b является линейной комбинацией векторов a₁,…, a_m.

В самом деле , линейная зависимость векторов (6.20) означает , что существуют такие числа _{0, 1},…, _m, не все равные нулю . что

₀b+ ₁a₁+…+ _ma_m=0 (6.21)

Здесь заведамо ₀=0, так как в противном случае векторы a₁,…, a_m оказались бы линейно зависимыми. Поделив равенство (6.21) на ₀, получим , что b является линейной комбинацией векторов a₁,…, a_m .

Обратно, если b является линейной комбинацией векторов (6.19), то в системах векторов (6.19) и (6.20) имеется в точности по m линейно независимых векторов , т.е. ранги матриц коэффициентов систем уравнений (6.16) и (6.16)-(6.17) равны.

Итак, условие , что вектор b является линейной комбинацией векторов (6.19) :

₁a₁+…+ _ma_m=b

эквивалентно равенству рангов матриц коэффициентов рассматриваемых основной и расширенной системв уравнений, следовательно, эквивалентно их равносильности.

ч.т.д.

Доказательство следствия сразу следует из леммы, поскольку системы (6.16) и (6.16)-(6.17) очевидно равносильны тогда и только тогда , когда каждое решение системы (6.16) является и решением уравнения (6.17) – остальные уравнения систем просто совпадают.

ч.т.д.

Замечание 1 : доказанная лемма и ее следствие имеют простую геометрическую интерпритацию в n–мерном евклидовом векторном пространстве Rⁿ, т.е. в n–мерном пространстве со скалярным произведением.Используя обозначение скалярного произведения, систему (6.16) можно записать в виде

(a_i,x)=0 i=1,2,…,m (6.22)

а уравнение (6.17) в виде

(b,x)=0 (6.23)

где векторы a₁,…, a_m и определены в (6.18) и (6.19) , а x=(x₁,x₂,…,x_m+1)

Множество всевозможных линейных комбинаций векторов a₁,…, a_m образуют подпространство пространства Rⁿ и называется подпространством, натянутым на эти векторы.Обозначим его через Z=( a₁,…, a_m).

Множество решений системы (6.22) состоит из всех векторов х, ортоганальных подпространству Z=( a₁,…, a_m) Обозначим это множество решений через Т.Оно также является подпространством пространства Rⁿ.

Подпространства L==Z(a₁,…, a_m) и Т называются ортоганальными дополнениями друг друга в пространстве Rⁿ.

Поскольку L=Z( a₁,…, a_m), то представимость вектора b в виде линейной комбинации векторов a₁,…, a_m равносильна его принадлежности подпространству L пространства Rⁿ:b L.Это условие в свою очередь, равносильно ортоганальности вектора b подпространству Т:b _Т, которая означает, что для всех x Т имеет место равенство (b,x)=0,т.е.что любое реение х системы (6.22) является решением уравнения (6.23).Это и является утверждением следствия леммы.

Замечание 2 : напомним метод, которым можно получить все решения однородной системы линейных уравнений.Пусть система (6.16) состоит из линейно независимых уравнений.Тогда ранг матрицы его коэффициентов равен m.Это означает , что существует минор этой матрицы порядка m, не равный нулю.Пусть для определенности

a₁₁… a_1m

a_m1… a_mm (6.24)

В этом случае все решения системы (6.16) можно получить , задавая произвольно последние n-m координаты вектора (x₁,x₂,…,x_n). Остальные координаты однозначно находятся из системы уравнений (6.16).В самом деле, возьмем произвольное решение (x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾) системы (6.16).После подстановки x_m+1= x⁽⁰⁾_m+1,…, x_n= x_n⁽⁰⁾ в (6.16) получится система из m линейных уравнений (с m неизвестными x₁,x₂,…,x_n), матрицы коэффициентов которой в силу условия (6.24) невырожденная.Поэтому существуют единственные значения x₁,x₂,…,x_n, удовлетворяющие получившейся системе.Поскольку (x⁽⁰⁾₁,x⁽⁰⁾₂,…,x⁽⁰⁾_n). также было решением системы (6.16), то x₁=x⁽⁰⁾₁, x₂=x⁽⁰⁾₂,…, x_m=x⁽⁰⁾_m.

Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции Лагранжа.

Теорема 6.2: Пусть функции f₀, f₁, f₂,…, f_m непрерывно дифференцируема в области G Rⁿ, x⁽⁰⁾ G

f_i(x)=0, i=1,2,3,…,n

а ранг матрицы Якоби функций f₁, f₂,…, f_m в точке x⁽⁰⁾ равен m.Для того чтобы в точке x⁽⁰⁾=(x⁽⁰⁾₁,x⁽⁰⁾₂,…,x⁽⁰⁾_n) градиент f₀ являлся линейной комбинацией градиентов f₁, f₂,…, f_m необходимо и достаточно, чтобы точка x⁽⁰⁾=(x⁽⁰⁾₁,x⁽⁰⁾₂,…,x⁽⁰⁾_n) была стационарной точкой для функции.

g(x)=g(x_m+1,…,x_n)

Напомним,что если в точке x⁽⁰⁾ градиент f₀ является линейной комбинацией

f₀= ₁f₁+ ₂f₂+…+ _mf_m (6.25)

градиентов f₁, f₂,…, f_m, то это равносильно тому, что существует функция Лагранжа

F= f₀- ₁f₁- ₂f₂-…- _mf_m (6.26)

для которой точка x⁽⁰⁾ является стационарной :

F(x⁽⁰⁾)

x_i i=1,2,…,n (6.27)

Это просто координатная запись (6.25) ,ибо в силу (6.26)

F(x⁽⁰⁾) f₀ f₁ f₂ f_m

x_i x_i x_i x_i x_i i=1,2,…,m

Доказательство: По условию ранг матрицы Якоби системы функций f₁, f₂,…, f_m в точке x⁽⁰⁾ равен m .Будем считать для определенности , как и в пункте 6.2 ,что

(f₁, f₂,…, f_m)

(x₁,x₂,…,x_m) x⁽⁰⁾ (6.28)

Подставим в уравнение связи (6.3) функции (6.5) , являющиеся решением этих уравнений , и продеффиренцируем получившееся относительно переменных x_m+1,…,x_n тождества.Получим для точки x⁽⁰⁾ равенства df_i(x⁽⁰⁾)=0, i=1,2,…,m, справедливые для любых приращений dx_m+1,…,dx_n независимых переменных x_m+1,…,x_n (напомним, что дифференциал являетсся линейной функцией , определенной на всем пространстве)Использовав инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных , получим , что в точке выполняется равенство

f_i f_i f_i f_i i=1,2,…,m

x₁ x_m x_m+1 x_n (6.29)

где x_m+1,…,x_n произвольные , а x₁,…,x_m находятся изформул (6.5). Таким образом вектор dx=( dx₁,…,dx_m,dx_m+1,…,dx_n) является решением линейной однородной системы (6.29).

Отметим , что в силу условия (6.28) значения dx₁,…,dx_m при заданных dx_m+1,…,dx_n однозначно находятся и из системы (6.29). Из замечания 2 следует также , что указанным способом получаются все решения системы (6.29).

Стационарность точки x⁽⁰⁾ для функции g(x)=g(x_m+1,…,x_n)

означает , что dg(x⁽⁰⁾).Это равенство , в силу инвариантности формы первого дифференциала, можно более подробно записать в виде

f₀ f₀ f₀ f₀

x₁ x_m x_m+1 x_n (6.31)

где dx_m+1,…,dx_n можно задавать произвольно, а dx₁,…,dx_m следует находить из формул (6.5) или , что дает тотже результат из формул (6.29). Инач говоря , любое решение системы уравнений (6.29) является и решением уравнения (6.31). Согласно следствию из леммы это возможно тогда и тoлько тогда , когда уравнение (6.31) является линейной комбинацией уравнений системы (6.29) , т.е. когда существуют такие числа , что

f₀= ₁f₁+ ₂f₂+…+ _mf_m

ч.т.д.

Замечание 3 : Согласно замечанию 2 совокупность всех решений систеиы уравнений (6.29) образуют подпространство Т пространства Rⁿ, являющееся ортогональным дополнением к подпространству L=Z( f₁, f₂,…, f_m) . Любой вектор y T ортогонален каждому градиенту f_i, а поэтому его естественно назвать касательным вектором в точке x⁽⁰⁾к гиперповерхности f_i(x)=0 , являющиеся множеством уровня функций f_i,i=1,2,…,m.

Таким образом , пространство решений Т системы (6.29) состоит из векторов , касательных одновременно ко всем гиперповерхностям f_i(x)=0 ,i=1,2,…,m, и потому его называют касательным пространством персечений всех гиперповерхностей f_i(x)=0 ,i=1,2,…,m . Напомним , что векторы касательноо пространства Т ,т.е. решения системы (6.29), были обознаены через dx (см.(6.30)).

Поскольку в точке условного экстремума согласно теореме 2 имеет место включение

f₀ L=Z( f₁, f₂,…, f_m)

то

f₀ T

Иначе говоря, градиент f₀ одновременно ортогонален всем касательным dx к гиперповерхностям f_i(x)=0 ,i=1,2,…,m:

( f₀,dx)=0

(это другая запись уравнения (6.31)), т.е. градиент f₀перпендикулярен касательному пространству Т в точке x⁽⁰⁾ .Но множество всех векторов , ортогональных к f₀, образуют (n-1)– мерное пространство Т₀ , называемое касательным пространством к гиперповерхности f₀(x)= f₀(x⁽⁰⁾) .В силу сказанного выше , каждый вектор из Т , будучи ортогонален градиенту f₀, принадлежит к Т₀ , т.е. Т Т₀.

Итак , если x⁽⁰⁾ – точка условного экстремума , то . Т Т₀ , т.е. касательное пространство в точке x⁽⁰⁾ пересечения всех гиперповерхностей , задаваемых уравнениями связи , содержится в касательном пространстве в той же точке гиперповерхности.

Замечание 4 : Из теоремы 2 еще раз вытекает следствие теоремы 1.В самом деле , если x⁽⁰⁾ является точкой условногo экстремума , то является x⁽⁰⁾ точкой обычного экстремума для функции () и , следовательно , ее стационаоной точкой . Поэтому согласно теореме 2 точка x⁽⁰⁾ является стационарной точкой для функции Лагранжа , т.е.выполняется условие .

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 146; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!