Использование высших производных.



В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.

Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x0) R, определенная в окрестности U(x0) точки х0, имеем в х0 производные до порядка n включительно (n>1).

Если f’(x0)=…=f (n-1)(x0)=0 и f(n)(x0)=0 , то при n нечетном в х0 экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f(n)(x0)>0 , и строгий локальный максимум, если f (n)(x0).

Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора

f(x)-f(x0)=f(n)(x0)(x-x0)n+ (x)(x-x0)n  (3.2)

где (x) 0 при x x0,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде

f(x)-f(x0)=(f(n)(x0)+ (x))(x-x0)n    (3.3)

Поскольку f(n)(x0)=0,а (x) 0 при x x0, сумма имеет знак fn(x0),когда х достаточно близок к х0. Если n нечетно, то при переходе через х0 скобка (х-х0)n меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.

Если n четно, то (x-x0)n>0 при x=x0 и,следовательно, а малой окрестности точки х0 знак разности f(x)-f(x0), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f(n)(x0) :

- пусть f(n)(x0),тогда в окрестности точки х0 f(x)>f(x0), т. е. в точке х0 – локальный минимум;

- пусть f(n)(x0)>0,тогда f(x)>f(x0) ,т. е. в точке х0 локальный минимум.                                                             ч.т.д.    

 

Экстремумы функций трех переменных.

Необходимые условия экстремума.

 

Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x0,y0,z0) будет внутренней точкой этой области.

 Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x0,y0,z0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x0- ,x0+ , y0- ,y0+ ,z0- ,z0+ )

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x,y,z)<f(x0,y0,z0)

                                          (>)

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x0,y0,z0) выполнялось строгое неравенство

                                f(x,y,z)<f(x0,y0,z0)

                                          (>)

то говорят, что в точке (x0,y0,z0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x0,y0,z0) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

fx’(x0,y0,z0), fy’(x0,y0,z0) ,fz’(x0,y0,z0)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим y= y0,z= z0 сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :

v=f(x, y0,z0)

Так как мы предположили, что в точке (x0,y0,z0)  существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x0- ,x0+ ) точки x=x0, необходимо должно выполняться неравенство

f(x, y0,z0)<f(x0,y0,z0)

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

fx’(x0,y0,z0)=0

Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

fx’(x,y,z)=0

                                                              fy’(x,y,z)=0             (4.2)

fz’(x,y,z)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

 

Достаточное условие экстремума.

Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума.Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.

Предположим, что функция v=f(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x0,y0,z0), которая является стационарной, т.е. удовлетворяет условиям

 fx’(x0,y0,z0)=0,fy’(x0,y0,z0)=0 ,fz’(x0,y0,z0)=0

Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x0,y0,z0) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности

= f(x,y,z)- f(x0,y0,z0)

Разложим ее по формуле Тейлора,

= { fx ’’ x12+fx ’’ x22+…+fx ’’ xn2+2fx1x2 ’’ x1 x2+ +2fx1x3 ’’ x1 x3+…+2fxn-1xn ’’ xn-1 xn}= fxixj ’’ xi  xj

где x= xi-xi0 ; производные все вычеслены в некоторой точке

(x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn) (0<0<1)

Введём и здесь значения

fxixj ’’ (x10,x20,…,xn0)=aik     (i,k=1,2,…,n)      (4.2)

так что

fxixj ’’ (x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn)= aik+ ik

и

      ik 0 при x1 0,…, xn 0                   (4.3)

Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:

= { aik  xi  xk+    ik  xi  xk}                      (4.4)

На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных  x1,…, xn. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

                            aik  yi yk        (aik = aki)      (4.5)

от переменных y1,…,yn называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (4.5) была определенной и положительной принадлежит Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

            a11 a12             a11 a12 a13                    

a11>0,  a21 a22  , a21 a22 a23 >0,     

                                  a31 a32 a33                  

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

a11 a12            a11 a12 a13                    

a11>0,   a21 a22        a21 a22 a23 >0

                    a31 a32 a33                    

Следовательно, чтобы исследовать точку М(x0,y0,z0) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму ( 4.5).

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку М(x0,y0,z0), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x0,y0,z0) является критической точкой функции f(x,y,z), т.е.  

 

f(x0,y0,z0)           f(x0,y0,z0)           f(x0,y0,z0)

--------------- =0, ---------------=0, ---------------=0

     x                     y                 z

Тогда при x=x0,y=y0,z=z0 :

1) f(x,y,z) имеет максимум , если

2 f(x0,y0,z0)     2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

---------------<0 , -------------------------------- - --------------- >0  

    x2                    x2   y2                                          x  y

 

2 f(x0,y0,z02 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

--------------- -------------------------------- - --------------- --     

    x2               x2   z2                                          y z

 

                         2 f(x0,y0,z0 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------- -------------------------------- --

             x  y             x y                     z2

 

          2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------------------------- +

                  x z          y z   

                            2 f(x0,y0,z0 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

+ --------------- -------------------------------- --

           x  z               x   y         y z

 

          2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- ------------------------------- >0

                         x z          y2

      

2) f(x,y,z) имеет минимум, если

2 f(x0,y0,z0)     2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

--------------->0 , -------------------------------- - --------------- >0  

    x2                    x2   y2                                          x  y

2 f(x0,y0,z02 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

--------------- -------------------------------- - --------------- --     

    x2               x2   z2                                          y z

                         2 f(x0,y0,z0 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------- -------------------------------- --

             x  y             x y                     z2

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------------------------- +

     x z       y z   

                            2 f(x0,y0,z0 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

+ --------------- -------------------------------- --

           x  z               x   y         y z

 

          2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- ------------------------------- >0

                         x z          y2

      

 

3)если

2 f(x0,y0,z02 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

--------------- -------------------------------- - --------------- --     

    x2               x2   z2                                          y z

         2 f(x0,y0,z0 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------- -------------------------------- --

             x  y             x y                     z2

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------------------------- +

    x z          y z   

                            2 f(x0,y0,z0 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

+ --------------- -------------------------------- --

           x  z               x   y         y z

         2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- ------------------------------- =0

                   x z          y2

  то экстремум может быть , а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование )

4) во всех остальных случаях f(x,y,z) не имеет ни максимума , ни минимума. 

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 130; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!