Двойственный симплексный метод

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

В п. 2 и п. 3 настоящего параграфа было показано, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двойственной и используя оценки ее оптимального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.

Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмотреть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным базисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках - двойственная. Причем оценками плана исходной задачи являются С _j а оценками плана двойственной задачи – b_i. Решим "двойственную задачу по симплексной таблице, в которой записана исходная задача; найдем оптимальный план двойственной задачи, а вместе с ним и оптимальный план исходной задачи. Этот метод носит название двойственного симплексного метода,

Пусть необходимо решить исходную задачу линейного программирования, поставленную в общем виде: минимизировать функцию Z =СХ при АХ = A₀, Х ³ 0. Тогда в двойственной задаче необходимо максимизировать функцию f = YA ₀ при YA £ С. Допустим, что выбран такой базис D = (A ₁ , А ₂ , ..., А _i , ..., А _m), при котором хотя бы одна из компонент вектора Х = D ^-1 A₀ = (x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_m) отрицательная (например, x_i < 0), но для всех векторов A_j выполняется соотношение Z_j – C_j £ 0 (i = 1,2, ..., n). Тогда на основании теоремы двойственности Y = С_баз D^-1 - план двойственной задачи. Этот план не оптимальный, так как, с одной стороны, при выбранном базисе X содержит отрицательную компоненту и не является планом исходной задачи, а с другой стороны, оценки оптимального плана двойственной задачи должны быть неотрицательными.

Таким образом, вектор А_i, соответствующий компоненте x_i < 0, следует исключить из базиса исходной задачи, а вектор, соответствующий отрицательной оценке,— включить в базис двойственной задачи.

Для выбора вектора, включаемого в базис исходной задачи, просматриваем i -ю строку: если в ней не содержатся x _ij < 0, то линейная функция двойственной задачи не ограничена на многограннике решений, а исходная задача не имеет решений. Если же некоторые x _ij < 0, то для столбцов, содержащих эти отрицательные значения, вычисляем q_0j= min (x_i/x_ij) ³ 0 и определяем вектор, соответствующий max q_0j(Z_j — C_j) при решении исходной задачи на минимум и minq_0j(Z_j — C_j) при решении исходной задачи на максимум. Этот вектор и включаем в базис исходной задачи. Вектор, который необходимо исключить из базиса исходной задачи, определяется направляющей строкой.

Если q_0j= min (x_i/x_ij) = 0, т. е. x_i = 0, то x _ij берется за разрешающий элемент только в том случае, если x _ij > 0. Такой выбор разрешающего элемента на данном этапе не приводит к увеличению количества отрицательных компонент вектора X. Процесс продолжаем до получения Х ³ 0; при этом находим оптимальный план двойственной задачи, следовательно, и оптимальный план исходной задачи.

В процессе вычислений по алгоритму двойственного симплексного метода условие Z_j – C_j £ 0 можно не учитывать до исключения всех х _i < 0, затем оптимальный план находится обычным симплексным методом. Это удобно использовать, если все х _i < 0; тогда для перехода к плану исходной, задачи за одну итерацию необходимо q_0j определить не по минимуму, а по максимуму отношений, т. е. q_0j= max (x_i/x_ij) > 0.

Двойственным симплексным методом можно решать задачи линейного программирования, системы ограничений которых при положительном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограничений, а также размеры симплексной таблицы.

Список используемой литературы

1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. «Финансы и статистика», 1998 г.

2. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. «Наука», 1980 г.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 132; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 23

Мы поможем в написании ваших работ!