Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности.
КУРСОВАЯ
на тему:
Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности.
Студент группы МЭК 1-1 - А.С. Кормаков
Научный руководитель - Солодовников А.С.
МОСКВА – 2001
Содержание
1. Двойственность в линейном программировании.................................... 3
2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности... 4
3. Симметричные двойственные задачи........................................................ 9
4. Виды математических моделей двойственных задач........................... 11
5. Двойственный симплексный метод........................................................... 12
6. Список используемой литературы............................................................ 14
Двойственность в линейном программировании
Понятие двойственности. С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальная задача называется исходной.
Связь исходной и двойственной задач состоит в том, что коэффициенты Cj функции цели исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи, свободные члены Bi системы ограничений исходной задачи служат коэффициентами функции цели двойственной задачи, а матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи. Решение двойственной задачи может быть получено из решения исходной и наоборот.
|
|
В качестве примера рассмотрим задачу использования ресурсов. Предприятие имеет т видов ресурсов в количестве bi (i = 1, 2, ..., m) единиц, из которых производится n видов продукций. Для производства 1 ед. i-й продукции расходуется aij ед. t-гo ресурса, а ее стоимость составляет Cj ед. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий ее максимальный выпуск в стоимостном выражении. Обозначим через xj(j =1,2, ..., n) количество ед. j-й продукций, Тогда исходную задачу сформулируем так.
Найти вектор Х =(x1, x2, …, xn), который удовлетворяет ограничениям
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn £ b1,
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn £ b2, xj ³ 0 (j =1,2, ..., n)
…………………………………
am1x1 + am2x2 + … + amnxn £ bm,
и доставляет максимальное значение линейной функции
Z = C1x1 + C2x2 + … + Cnxn,
Оценим ресурсы, необходимые для изготовления продукции. За единицу стоимости ресурсов примем единицу стоимости выпускаемой продукции. Обозначим через у i (j =1,2, ..., m) стоимость единицы i-горесурса. Тогда стоимость всех затраченных ресурсов, идущих на изготовление единицы j-й продукции, равна . Стоимость затраченных ресурсов не может быть меньше стоимости окончательного продукта, поэтому должно выполняться неравенство ³ Cj, j =1,2, ..., n. Стоимость всех имеющихся ресурсов выразится величиной . Итак, двойственную задачу можно сформулировать следующим образом.
|
|
Найти вектор Y =(y1, y2, …, yn), который удовлетворяет ограничениям
a11y1 + a12y2 + … + am1ym £ C1,
a12y1 + a22y2 + … + am2ym £ C2, yj ³ 0 (i =1,2, ..., m)
…………………………………
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym £ Cm,
и доставляет минимальное значение линейной функции
f = b1y1 + b2y2 + … + bmym.
Рассмотренные исходная и двойственная задачи могут быть экономически интерпретированы следующим образом.
Исходная задача. Сколько и. какой продукции xj (j =1,2, ..., n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях Cj (j =1,2, ..., n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi (i =1,2, ..., n) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.
Д в о й с т в е н н а я з а д а ч а. Какова должна быть цена единицы каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов b i и величинах стоимости единицы продукции C i минимизироватьобщую стоимость затрат?
Переменные у i называются оценками или учетными, неявными ценами.
Многие задачи линейного программирования первоначально ставятся в виде исходных или двойственных задач, поэтому имеет смысл говорить о паре двойственных задач линейного программирования.
|
|
Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности.
В несимметричных двойственных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной — в виде неравенств, причем в последней переменные могутбыть и отрицательными.Для простоты доказательств постановку задачи условимсязаписывать в матричной форме.
Исходная задача. Найти матрицу-столбец X = (x1, x2, …, xn), которая удовлетворяет ограничениям
(1.1) AX = A0, Х ³ 0
и минимизирует линейную функцию Z = СХ.
Двойственная задача. Найти матрицу-строку Y = (y1, y2, …, ym), которая удовлетворяет ограничениям
(1.2) YA £ С
и максимизирует линейную функцию f = YA0
В обеих задачах C = (c1, c2, …, cn) - матрица-строка, A0 = (b1, b2, …, bm) — матрица-столбец, А = (aij) — матрица коэффициентов системы ограничений. Связь между оптимальными планами пары двойственных задач устанавливает следующая теорема.
Теорема (теорема двойственности). Если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем для экстремальных значений линейных функций выполняется соотношение
|
|
min Z = max f.
Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что исходная задача обладает оптимальным планом, который получен симплексным методом. Не нарушая общности, можно считать, что окончательный базис состоит из т первых векторов A1, A2, ..., Am. Тогда последняя симплексная таблица имеет вид табл. 1.1.
Т а б л и ц а 1.1
i | Базис | С базиса | A0 | C1 | C2 | … | Cm | Cm+1 | … | cn |
A1 | A2 | … | Am | Am+1 | … | An | ||||
1 2 . . . m | A1 A2 . . . Am | C1 C2 . . . Cm | x1 x2 . . . xm | 1 0 . . . 0 | 0 1 . . . 0 | ... ... . . . . | 0 0 . . . 1 | x1, m+1 x2, m+1 . . . xm, m+1 | … … . . . … | x1n x2n . . . xmn |
m+1 | Zi - Cj | Z0 | Z1 – C1 | Z2 – C2 | ... | Zm – Cm | Zm+1 – Cm+1 | … | Zn – Cn |
Пусть D — матрица, составленная из компонент векторов окончательного базиса A1, A2, ..., Am; тогда табл. 1.1 состоит из коэффициентов разложения векторов A1, A2, ..., An исходной системы по векторам базиса, т. е. каждому вектору Aj в этой таблице соответствует такой вектор Xj что
(1.3) Aj = DXj (j= 1,2, ,.., n).
Для оптимального плана получаем
(1.4) A0 = DX*,
где X* = ( x*1 , x*2 , …, x*m ) .
Обозначим через матрицу, составленную из коэффициентов разложения векторов А j (j = 1, 2, ..., n), записанных в табл. 1.1. Тогда, учитывая соотношения (1.3) и (1.4), получаем:
(1.5) A = D , D-1A = ,
(1.6) A 0 =DX*; D -1 A 0 = X* ,
(1.7) min Z= C*X*,
(1.8) = C* —C £ 0,
где С* = (C*1, C*2, …, C*m), С = (C1, C2, …, Cm, Cm+1, …, Cn), a = (C*X1 – C1; С*Х 2 - С2, ..., C*X n – Cn) = (Z1 – С1; Z2 - C2; ..., Zn — Cn) — вектор, компоненты которого неположительны, так как они совпадают с Zj — Cj £ 0, соответствующими оптимальному плану.
Оптимальный план исходной задачи имеет вид X* = D-1 А0, поэтому оптимальный план двойственной задачи ищем в виде
(1.9) Y* = C*D -1 .
Покажем, что Y* действительно план двойственной задачи. Для этого ограничения (1.2) запишем в виде неравенства YA — С £ 0, в левую часть которого подставим Y*. Тогда на основании (1.9), (1.5) и (1.8) получим
Y * А – С = С* D -1 А – С = С* - С £ 0,
откуда находим Y*A £ С.
Так как Y* удовлетворяет ограничениям (1.2), то это и есть план двойственной задачи. При этом плане значение линейной функции двойственной задачи f (Y*) = Y*A 0. Учитывая соотношения (1.9), (1.6) и (1.7), имеем
(1.10) f (Y*) = Y*A 0 = C*D-1 A0 = C*X* = min Z(X).
Таким образом, значение линейной функции двойственной задачи от Y* численно равно минимальному значению линейной функции исходной задачи.
Докажем теперь, что Y* является оптимальным планом. Умножим (1.1) на любой план Y двойственной задачи, а (1.2) — на любой план X исходной задачи: YAX=YA 0 = f ( Y), YAX £ СХ = Z (X), отсюда следует, что для любых планов Х и Y выполняется неравенство
(1.11) f ( Y) £ Z (X).
Этим же соотношением связаны и экстремальные значения max f ( Y) £ min Z (Х). Из последнего неравенства заключаем, что максимальное значение линейной функции достигается только в случае, если max f (Y) = min Z (X), но это значение [см. (1.10)] f ( Y) достигает при плане Y*, следовательно, план Y* — оптимальный план двойственной задачи.
Аналогично можно доказать, что если двойственная задача имеет решение, то исходная также обладает решением и имеет место соотношение max f (Y) = min Z (X).
Для доказательства второй части теоремы допустим, что линейная функция исходной задачи не ограничена снизу. Тогда из (1.11) следует, что f (Y) £ -¥ . Это выражение лишено смысла, следовательно, двойственная задача не имеет решений.
Аналогично предположим, что линейная функция двойственной задачи не ограничена сверху. Тогда из (1.11) получаем, что Z (X) ³ +¥. Это выражение также лишено смысла, поэтому исходная задача не имеет решений.
Доказанная теорема позволяет при решении одной из двойственных задач находить оптимальный план другой.
Исходная задача. Найти минимальное значение линейной функции Z = x2 – x4 – 3x5 при ограничениях
x1 + 2x2 - x4 + x5 = 1,
- 4x2 + x3 + 2x4 – x5 = 2, xij ³ 0 (j = 1, 2, …, 6)
3x2 + x5 + x6 = 5,
Здесь матрица-строка С = (0;. 1; 0; —1; — 3, 0), матрица-столбец
1 1 2 0 -1 1 0
A0 = 2 A = 0 -4 1 2 -1 0
3 0 3 0 0 1 1
1 0 0
2 -4 3
A’’ = 0 1 0
-1 2 0
1 -1 0
0 0 1
Двойственная задача. Найти максимальное значение линейной функции f = y1 + 2y2 +5y3 при ограничениях
y1 £ 0,
2y1 – 4y2 + 3y3 £ 1,
y2 £ 0,
-y1 + 2y2 £ -1,
y1 – y2 + y3 £ -3,
y3 £ 0.
Решение исходной задачи находим симплексным методом (табл. 1.2).
i | Базис | С базиса | A0 | 0 | 1 | 0 | -1 | -3 | 0 |
A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | ||||
1 2 3 | A1 A3 A6 | 0 0 0 | 1 2 5 | 1 0 0 | 2 -4 3 | 0 1 0 | -1 2 0 | 1 -1 1 | 0 0 1 |
m + 1 | Zi - Cj | 0 | 0 | -1 | 0 | 1 | 3 | 0 | |
1 2 3 | A5 A3 A6 | -3 0 0 | 1 3 4 | 1 1 -1 | 2 -2 1 | 0 1 0 | -1 1 1 | 1 0 0 | 0 0 1 |
m + 1 | Zi - Cj | -3 | -3 | -7 | 0 | 4 | 0 | 0 | |
1 2 3 | A5 A4 A6 | -3 -1 0 | 4 3 1 | 2 1 -2 | 0 -2 3 | 1 1 -1 | 0 1 0 | 1 0 0 | 0 0 1 |
m + 1 | Zi - Cj | -15 | -7 | 1 | -4 | 0 | 0 | 0 | |
1 2 3 | A5 A4 A2 | -3 -1 1 | 4 11/3 1/3 | 3 -1/3 -2/3 | 0 0 1 | 1 1/3 -1/3 | 0 1 0 | 1 0 0 | 0 2/3 1/3 |
m + 1 | Zi - Cj | -46/3 | -19/3 | 0 | -11/3 | 0 | 0 | -1/3 |
Оптимальный план исходной задачи X* = (0; 1/3; 0; 11/3; 4; 0), при котором Zmin = - 46/3, получен в четвертой итерации табл. 1.2. Используя эту итерацию, найдем оптимальный план двойственной задачи. Согласно теореме двойственности оптимальный план двойственной задачи находится из соотношения Y* = C*D -1 , где матрица D -1 - матрица, обратная матрице, составленной из компонент векторов, входящих в последний базис, при котором получен оптимальный план исходной задачи. В последний базис входят векторы A5, A4, A2; значит,
1 -1 2
D = ( A5, A4, A2 ) = -1 2 -4
1 0 3
Обратная матрица D -1 образована из коэффициентов, стоящих в столбцах A1, A3, A6 четвертой итерации:
2 1 0
D-1 = -1/3 1/3 2/3
-2/3 -1/3 1/3
Из этой же итерации следует С* = (— 3; —1; 1). Таким образом
2 1 0
Y = С* D-1 = (-3; -1; 1) · -1/3 1/3 2/3
-2/3 -1/3 1/3
Y*=(-19/3; -11/3; -1/3),
т. е. y i = С*Х i, где Х i — коэффициенты разложения последней итерации, стоящие в столбцах векторов первоначального единичного базиса.
Итак, i-ю двойственную переменную можно получить из значения оценки (m + 1)-й строки, стоящей против соответствующего вектора, входившего в первоначальный единичный базиc, если к ней прибавить соответствующее значение коэффициента линейной функции:
у 1 = — 19/3 + 0 = — 19/3; y2 = -11/3 + 0 = -11/3; у 3 = -1/3+0 = -1/3. При этом плане max f = -46/3.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 173; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!