Задачи к теме 3 «Формулы полной вероятности и Байеса».
Задачи к теме 1 «Комбинаторика».
1. Для разгрузки поступивших товаров менеджеру требуется выделить 4 из 15 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуществляя отбор в случайном порядке?
Решение:
Необходимое количество способов вычислим по формуле сочетаний:
.
11. В Российской Федерации номерной знак автомобиля каждого региона состоит из трех букв и трех цифр. Чему равно общее число возможных номерных знаков региона, если, для его составления используется 12 букв русского алфавита и 10 цифр. Рассмотрите два случая, когда: а) цифры и буквы в номере не повторяются; б) если повторяются?
Решение:
а) Посчитаем количество возможных номерных знаков региона с помощью размещений без повторений:
.
б) Посчитаем количество кодовых комбинаций с помощью размещений с повторениями:
.
Задачи к теме 2 «Основные теоремы теории вероятностей».
1. Из колоды в 36 карт наудачу одна за другой извлекают две карты. Найти вероятность того, что ими окажутся: а) две дамы; б) туз и дама; в) две карты трефовой масти?
Решение:
1. Введем события:
A - извлечена первая дама
B - извлечена вторая дама
C - извлечены две дамы
Тогда, по классической формуле вероятностей вероятность вынуть первую даму равна P(A)=4/36=1/9. Мы помним, что в колоде 4 дамы, т.е. 4 благоприятных исхода.
После того, как из колоды был извлечена одна дама, в колоде осталось 35 карт, среди которых 3 дамы. Следовательно, вероятность вынуть вторую даму, при условии, что первой была вынута дама: P(B/A)=3/35.
|
|
|
Следовательно, вероятность извлечь две дамы равна:
P(C)=P(A)∗P(B/A)=1/9∗3/35=1/105=0.0095.
2. Введем события:
A - извлечена первым туз
B - извлечена второй дама
C - извлечены туз и дама
Тогда, по классической формуле вероятностей вероятность вынуть первым туз равна P(A)=4/36=1/9.
После того, как из колоды был извлечен туз, в колоде осталось 35 карт. Следовательно, вероятность вынуть второй даму, при условии, что из колоды уже вынули одну карту: P(B/A)=4/35.
Следовательно, вероятность извлечь туз и даму равна:
P(C)=P(A)∗P(B/A)=1/9∗4/35=4/315=0.0127.
3. Введем события:
A - извлечена первой трефовая карта
B - извлечена второй трефовая карта
C - извлечены две трефовые карты
Тогда, по классической формуле вероятностей вероятность вынуть первой трефовую карту P(A)=9/36=1/4. В колоде 4 масти по 9 карт.
После того, как из колоды была извлечена одна карта трефовой масти, в колоде осталось 35 карт и 8 карт трефовой масти. Следовательно, вероятность вынуть вторую карту трефовой масти, при условии, что из колоды уже вынули одну трефовую карту: P(B/A)=8/35.
Следовательно, вероятность извлечь две трефовые карты:
P(C)=P(A)∗P(B/A)=1/4∗8/35=2/35=0.057.
|
|
|
11. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по любому из трех центральных телевизионных каналов, равна 0,15. Предполагается, что эти события - независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу:
а) по всем трем каналам? б) хотя бы по одному из этих каналов? в) только по одному каналу?
Решение:
Пусть событие А – потребитель увидит рекламу определенного продукта по одному из трех центральных телевизионных каналов. Его вероятность 
, тогда 
.
События А и В независимы. Тогда
а) вероятность того, что потребитель увидит рекламу по всем трем каналам равна 
.
б) вероятность того, что потребитель увидит рекламу хотя бы по одному из этих каналов равна 
.
в) вероятность того, что потребитель увидит рекламу только по одному каналу равна 
.
Задачи к теме 3 «Формулы полной вероятности и Байеса».
1. Руководство компании выяснило, что в среднем 85% сотрудников, отправленных на стажировку по применению новых информационных технологий, успешно завершают курс обучения. В дальнейшем из них 60% активно применяют в работе полученные знания. Среди тех сотрудников, которые не смогли успешно завершить обучение новые информационные технологии успешно применяют лишь 10%. Если случайно выбранный сотрудник компании активно применяет новые информационные технологии, то какова вероятность того, что он успешно прошел стажировку?
|
|
|
Решение:
Пусть событие А – сотрудник активно применяет новые информационные технологии;
Н1 – сотрудник успешно прошел стажировку;
Н2 - сотрудник не смог успешно пройти стажировку.
По условию задачи 
. Условные вероятности по применению новых информационных технологий 
.
Тогда по формуле Байеса
.
11. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?
Решение:
Пусть событие А – сделка принесет успех;
H1 - председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку;
H2 - председатель совета директоров поглощаемой фирмы не выйдет в отставку.
Вероятности событий по условию равны
|
|
|
По формуле полной вероятности
.
Дата добавления: 2019-02-26; просмотров: 2979; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!