Свойства операций сложения и умножения матриц

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

1) .

2) .

3) .

4) .

8) (в общем случае). Кроме того, если существует, то может вообще не существовать.

9) , где - единичная квадратная матрица.

10) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. если , то не следует, что или .

Пример. , , но .

Возведение в степень.

Целой положительной степенью квадратной матрицы называют произведение матриц, равных , т.е. .

Транспонирование матриц.

Транспонирование матрицы есть переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

, ,

т.е. если имеет размер , то имеет размер .

Свойства операции транспонирования.

1. .

2. .

Обратная матрица. Определение. Свойства.

Обратная матрица

Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

Только квадратная матрица может иметь обратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Определение. Матрица является невырожденной (неособенной), если , в противном случае при матрица называется вырожденной (особенной).

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной (неособенной) и вычисляется по формуле

где - присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, т.е. .

Необходимость. Пусть матрица имеет обратную , т.е. . По свойству 10 определителей имеем: , т.е. и .

Достаточность. Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка , называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы , транспонированной к . Тогда элементы произведения матриц определяются по правилу умножения матриц. Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы. А произведение на равно той же матрице В: .

Единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы и такие, что и , где матрица получена по формуле и выполняются равенства и . Тогда, умножая на слева первое из них, получаем: , откуда , т.е. . Аналогично, умножая второе равенство на справа, получаем . Единственность доказана.

Свойства обратной матрицы:

§ , где det обозначает определитель.

§ (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1} для любых двух обратимых матриц A и B.

§ (A^T) ^{− 1} = (A ^{− 1})^T где * ^T обозначает транспонированную матрицу.

§ (kA) ^{− 1} = k ^{− 1}A ^{− 1} для любого коэффициента .

§ Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{- 1} существует, то x = A ^{− 1}b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Перестановки.

Напомним, что если – множество из -элементов, , то перестановкой степени называется взаимнооднозначное отображение . – множество всех перестановок степени : .

Лемма 1: Число различных перестановок равно

Лемма 2: Множество перестановок образует группу относительно умножения, так что , обратный элемент получается сменой строк (Не коммутативная группа).

Отметим, что если в перестановке поменять местами любые столбцы, то получится та же перестановка.

Углубим проведенное ранее исследование:

Определение 1: Пусть – перестановка степени , пусть . Тогда пара называется инверсией для , если .

Перестановка называется четной, если число инверсий для – четное, и перестановка нечетная, если число инверсий нечетное.

Знак перестановки – это ,где – число инверсий.

Обозначается .

Итак, если – четная, то , и если – нечетная, то .

Пример: . Пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е. – четная.

Теорема 1:

1. Знак единичной перестановки равен 1.

2. Если .

3. .

Доказательство: 1. В единичной перестановке инверсий нет .

2. Пусть – множество инверсий относительно , а – множество инверсий относительно .

Легко видеть, что если , то . Следовательно, между множествами устанавливается взаимнооднозначное соответствие

Пусть – множество инверсий относительно ,

– множество инверсий относительно ,

– множество инверсий относительно : .

Тогда надо доказать, что , т.е. – четное число – это надо доказать.

Пусть ,

Введем следующее обозначение: пусть - это множество пар . Тогда справедлива следующая множественная схема:

Между множествами существует взаимнооднозначное соответствие : .

Поэтому из картинки видно , т.е. четное число.

Следствие: .

Обозначение: Пусть . -перестановкой будем называть перестановку, при которой

Определение 2: Перестановка вида называется транспозицией. Они имеют вид , где точками обозначены элементы, остающиеся на своих местах.

Теорема 2: Транспозиция – нечетная перестановка.

Доказательство: Вычислим число инверсий. Инверсиями являются пары , где , пара , где , и пара . Их всего будет , т.е. нечетное число. ▄

Замечание: Произведение вида означает, что в нижней строке надо поменять местами и .

? Что означает .

Пример .

Теорема 3: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций.

Доказательство: Пусть . Покажем, что нижняя строка может быть получена из строки за конечное число шагов, каждый из которых состоит в том, что два числа меняются местами:

Пример:

т.е. .

Аналогично в общем случае.

Пусть на втором шаге поменяются местами . Тогда ввиду замечания .

Упражнение: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций вида .

Теорема 4: При всех разложениях перестановки в произведения транспозиций, четность числа транспозиций одна и та же; она совпадает с четностью перестановки.

Доказательство: Пусть , где – транспозиция. Тогда знак равен знаку произведения транспозиций – четно, если – четно.

Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 173; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!