Правило ділення різниці на число.
Щоб поділити різницю на число, досить поділити на це число зменшуване і від’ємник і від першого результату відняти другий: 
.
Пропонуємо довести це правило самостійно.
Правило ділення добутку на число. Правило ділення числа на добуток та множення числа на частку.
Правило ділення добутку на число.
Щоб поділити добуток на число, досить поділити на це число один із множників і результат помножити на другий множник: 
.
Доведемо, наприклад, що 
. Якщо ця рівність правильна, то за означенням ділення 
.
Правило ділення числа на добуток.
Щоб поділити деяке число на добуток, досить поділити це число на один із множників і знайдену частку поділити на другий множник: 
.
На цьому правилі ґрунтується послідовне ділення при усних обчисленнях: 
.
Ділення з остачею
Ділення одного натурального числа на інше ціле не завжди виконується. Тому розглядають більш загальну дію — ділення з остачею.
Поділити натуральне число 
на натуральне число 
з остачею — означає подати число 
у вигляді 
де 
і 
— невід’ємні цілі числа, причому 
Число 
при цьому називається неповною часткою, а число 
— остачею від ділення на 
Наприклад, при діленні числа 27 на 6 неповна частка дорівнює 4, а остача 
Щоб знайти ділене при діленні з остачею, потрібно неповну частку помножити на дільник і до здобутого добутку додати остачу. Очевидно, що 
тоді і тільки тоді, коли є дільником 
Ділення з остачею завжди виконується, про що свідчить наведена далі теорема (теорема про ділення з остачею).
|
|
|
Теорема. Для будь-яких натуральних чисел і існує єдина пара невід’ємних цілих чисел і , таких що
де 
Позиційна і непозиційна система числення. Запис чисел в десятковій системі числення. Запис чисел в різних позиційних системах числення, відмінних від десяткової.
Ідея нескінченності натурального ряду чисел освоювалось дуже повільно через відсутність протягом тривалого історичного періоду зручної системи числення. Перші системи числення були дуже недосконалими: для зображення кожного числа використовували окремий знак – ієрогліф. Пізніше ієрогліфи стали використовувати лише для позначення так званих вузлових чисел, решту чисел зображали за допомогою їх за принципом додавання або віднімання.
Зміст стародавньої єгипетської ієрогліфічної системи можна побачити у таблиці
| I | 
| 
| 
| 
|
| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
Стародавні єгиптяни лічили десятками. Але спеціальні знаки у них були лише для розрядів: одиниць, десятків, сотень і т. д. Числа від 1 до 10 записувались за допомогою паличок.
Наприклад, число 122 мало вид ς ∩∩I I .
|
|
|
У римський системі числення записували вузлові числа так: 1 - I, 5 – V, 10 – Х, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. Решту чисел записували за принципом додавання або віднімання.
Наприклад, 256 – CCLVI, 399 – CCCXCIX.
Частково використовували і принцип множення: число 5 зображували символом руки, а 10 –як дві п’ятірки, тільки одна перевернута. Число 100 зображували буквою С, або (centum – сто), а 50 –L, як половину 100 (нижню половину).
Римською нумерацією користуємося і тепер. Ця система є непозиційною.
Непозиційними були також алфавітні системи: давньогрецька і старослов’янська. В цих системах перші 9 букв означали одиниці, наступні 9 – десятки, ще наступні – сотні.
У слов’янській нумерації було два способи лічби великих чисел: «мале словенське числення» і «велике словенське числення». У малому численні: 104 – тьма, 105 – легіон, 106 – леодр. У великому: тьма (@) – 106, легіон – 1012 – тьма тем, леодр – легіон легіонів – 1024, леодр леодрів – 1048 – ворон.
Перша позиційна система числення виникла понад 2000 років до н.е. в стародавньому Вавилоні. Це була шістдесяткова позиційна нумерація. Проте принцип позиційного значення цифр тут ще не використовувався скрізь. Для запису чисел використовували положення клину : ▼- 1 і 60, ◄ - 10. Інші числа зображувались за допомогою цих знаків і дій додавання.
|
|
|
Сучасна позиційна система числення була винайдена в Індії у V-VI ст. Через арабів вона поширилася в IX ст. в Середню Азію, а пізніше – і в Західну Європу. Великим досягненням індійської математики було введення нуля для позначення відсутності одиниць розряду в числі. Після цього десяткова система числення стала повністю оформленою. Запровадження десяткової системи числення на Русі було зупинено монгольським ігом. Тільки у XVIII ст. індійська система числення витіснила слов’янську нумерацію.
У сучасному житті використовують також інші системи числення. В астрономії з давніх-давен застосовується шістдесяткова система числення. Основою цієї системи є число 60. Так, 60сек = 1 мінута, або 60// = 1/, 60/ = 1° тощо.
Взагалі, основою числення може бути будь-яке натуральне число р ≥2. Для запису числа в такій системі числення використовується р символів: 0,1, ..., р-1.
Означення:Записом цілого невід’ємного числа х у р-й системі числення називається його подання у вигляді х = аnpn + … + a1p + a0, де an, …, a1, a0 набувають значення 0, 1, ..., р-1, аn ≠ 0 .
Числа 1, p, p2, … , pn називають розрядними одиницями 1-го, 2-го, ... , (n+1)-го розрядів.
|
|
|
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 405; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!