Приведение двух параллельных сил.
В ходе рассмотрения такой системы сил возможны три следующих случая приведения.
1. Система двух коллинеарных сил. Рассмотрим систему двух параллельных и направленных в одну сторону сил P и Q, приложенных в точках А и В. Будем считать, что силы перпендикулярны к этому отрезку (рис.1,а).
Выберем в качестве центра приведения точку С, принадлежащую отрезку АВ и удовлетворяющую условию:
АС/СВ = Q/P. (1)
Главный вектор системы RC = P + Q по модулю равен сумме этих сил: RC = P + Q.
Главный момент относительно центра С с учетом (1) равен нулю: M C = P∙АС - Q∙СВ = 0.
Таким образом, в результате приведения мы получили: RC ≠ 0, M C = 0. Это означает, что главный вектор эквивалентен равнодействующей, проходящей через центр приведения, то есть:
Равнодействующая коллинеарных сил равна по модулю их сумме, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внутренним образом.
Отметим, что положение точки С не изменится, если силы Р и Q повернуть на угол α. Точка С, обладающая таким свойством называется центром параллельных сил.
2. Система двух антиколлинеарных и не равных по модулю сил. Пусть силы P и Q , приложенные в точках А и В, параллельны, направлены в противоположные стороны и по модулю не равны (рис.1,б).
Выберем в качестве центра приведения точку С, удовлетворяющую по-прежнему соотношению (1) и лежащую на той же прямой, но за пределами отрезка АВ.
|
|
|
Главный вектор этой системы RC = P + Q по модулю теперь будет равен разности модулей векторов: RC = Q - P.
Главный момент относительно центра С по-прежнему равен нулю: M C = P∙АС - Q∙СВ = 0, поэтому
Равнодействующая антиколлинеарных и не равных по модулю сил равна их разности, направлена в сторону большей силы, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внешним образом.
Рис.1
3. Система двух антиколлинеарных и равных по модулю сил. Возьмем за исходный предыдущий случай приведения. Зафиксируем силу Р, а силу Q устремим по модулю к силе Р.
Тогда при Q → Р в формуле (1) отношение АС/СВ → 1. Это означает, что АС → СВ , то есть расстояние АС →∞.
При этом модуль главного вектора RC → 0, а модуль главного момента не зависит от положения центра приведения и остается равным первоначальному значению:
M C = P∙АС - Q∙СВ = P∙(АС - СВ) = P∙А B.
Итак, в пределе мы получили систему сил, для которой RC = 0, M C≠0, а центр приведения удален в бесконечность, которую нельзя заменить равнодействующей. В этой системе нетрудно узнать пару сил, поэтому пара сил равнодействующей не имеет.
Центр системы параллельных сил.
|
|
|
Рассмотрим систему n сил Pi, приложенных в точках Ai (xi, yi, zi) и параллельных оси Ov c ортом l (рис.2).
Если заранее исключить случай системы, эквивалентной паре сил, нетрудно на основании предыдущего параграфа доказать существование ее равнодействующей R.
Определим координаты центра C(x c, y c, z c) параллельных сил, то есть координаты точки приложения равнодействующей этой системы.
Воспользуемся с этой целью теоремой Вариньона, на основании которой:
M0 (R) = ΣM0 (Pi).
Рис.2
Вектор-момент силы можно представить в виде векторного произведения, поэтому:
М 0(R) = rc×R = ΣМ 0i (Pi)= Σ(ri×Pi).
Учитывая, что R = Rv∙l, а Pi = Pvi∙l и воспользовавшись свойствами векторного произведения, получим:
rc×Rv∙l = Σ(ri ×Pvi∙l),
rc∙Rv×l = Σ(ri∙Pvi×l) = Σ(ri∙Pvi)×l,
или:
[rcRv - Σ(ri Pvi )]×l = 0.
Последнее выражение справедливо только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю. Поэтому, опуская индекс v и учитывая, что равнодействующая R = ΣPi , отсюда получим:
rc = (ΣPi ri)/(ΣPi).
Проектируя последнее векторное равенство на оси координат, получим искомое выражение координат центра параллельных сил:
xc = (ΣPi xi)/( ΣPi);
yc = (ΣPi yi)/( ΣPi); (2)
|
|
|
zc = (ΣPi zi)/( ΣPi).
Центр тяжести тел.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 336; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!