Свойства смешанного произведения

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

1. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство = 0.

2. Объем параллелепипеда, построенного на векторах :

Примеры решения задач

Задача 1. Найти координаты векторного произведения , если , .

Решение. Найдем и . Векторное произведение, по определению, равно .

Задача 2. Силы и приложены к точке . Вычислить величину момента равнодействующей этих сил относительно точки .

Решение. Найдем силу и плечо : . Момент сил вычисляется по формуле

, а его модуль .

Задача 3. Даны координаты вершин параллелепипеда: . Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Решение. По определению, объем параллелепипеда равен смешанному произведению векторов, на которых он построен. Найдем эти векторы:

Объем этого параллелепипеда .

С другой стороны, объем параллелепипеда , - это площадь параллелограмма: .

, тогда высота .

Угол между вектором и гранью найдем по формуле

так как вектор перпендикулярен грани, в которой лежат векторы . Угол между этим вектором и вектором находим по известной формуле

. Очевидно, что искомый угол .

Итак: .

Задача 4. Проверить, лежат ли в одной плоскости точки , . Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Решение. Найдем три вектора: .

Три вектора лежат в одной плоскости, если они компланарны, т. е. их смешанное произведение равно нулю: . Следовательно, эти три вектора линейно зависимы. Найдем линейную зависимость от .