Свойства скалярного произведения:
1) 
(переместительное);
2) 
(сочетательное относительно числового множителя);
3) 
(распределительное относительно суммы векторов).
Если 
, то 
, 
.
Условие перпендикулярности векторов 
: 
.
Длина вектора 
: 
.
Физический смысл скалярного произведения: если вектор 
представляет силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора 
, то работа А этой силы определяется равенством 
.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, где 
таковы, что 
.
Решение. Диагонали параллелограмма есть векторы 
и 
. Вычислим длину вектора 
: 
.
Аналогично вычисляется длина вектора 
.
Пример 2. Найдите вектор 
, коллинеарный вектору 
и удовлетворяющий условию 
.
Решение. Обозначим вектор 
, тогда из условий задачи
или 
,
тогда 
. Итак: 
.
Пример 3. Найти проекцию вектора 
на направление вектора 
.
Решение. 
. По формуле проекции вектора на ось будет иметь место равенство: 
.
Пример 4. Даны векторы: 
.
Проверить, есть ли среди них коллинеарные. Найти 
.
Решение. Условие коллинеарности имеет вид 
. Этому условию удовлетворяют векторы 
. Следовательно, они коллинеарны. Найдем длины
векторов 
: 
.
Угол между векторами определяется по формуле 
.
Тогда 
, 
.
Используя формулу 
, получим 
.
Пример 5. На материальную точку действуют силы 
. Найти работу равнодействующей этих сил 
при перемещении точки из положения 
в положение 
.
|
|
|
Решение. Найдем силу и вектор перемещения 
. 
, тогда искомая работа 
.
Задачи
1. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 
, если известно, что 
.
2. Даны силы 
. Найти работу их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку 
.
3. Сила, определяемая вектором 
, разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором 
. Найти составляющую силы в направлении вектора 
.
4 Даны три последовательные вершины параллелограмма: 
. Найти его четвертую вершину D и угол между векторами 
.
Векторное произведения векторов. Смешанное произведение векторов
Определение1. Тройка некомпланарных векторов 
называется правой (левой) если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами и от него к 
, совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке)
 |
Тройка правая Тройка левая
|
|
|
Определение 2. Векторным произведением вектора на вектор 
называется вектор 
, длина и направление которого определяются условиями:
1. 
, где 
- угол между 
.
2. 
.
3. - правая тройка векторов.
Свойства векторного произведения
1. 
(свойство антиперестановочности сомножителей);
2. 
(распределительное относительно суммы векторов);
3. 
(сочетательное относительно числового множителя);
4. 
(равенство нулю векторного произведения означает коллинеарность векторов);
5. 
, т. е. момент сил равен векторному произведению силы на плечо.
Если вектор 
, то 
.
Определение 3. Смешанным произведением 
трех векторов называется число, определяемое следующим образом: 
. Если векторы заданы своими координатами: 
, то
~ 
.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 178; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!