Скалярное произведение векторов

Практическое занятие № 3

Цель занятия. Изучить основные понятия, операции над векторами, их свойства; научиться вычислять скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Основные вопросы темы:

· понятие вектора

· операции над векторами

· скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Основные сведения о векторах

Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов

Определение 1. Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок.

Будем обозначать вектор либо как направленный отрезок символом , где точки А и В - начало и конец данного вектора, либо . Начало вектора называют точкой его приложения.

Определение 2. Вектор называется нулевым, если начало и конец егосовпадают.

Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль.

Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение 4. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллиннеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Все нулевые векторы считаются равными.

Определение 6. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Определение 7. Разностью вектора и вектора называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Определение 8. Произведением вектора на действительное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора при и противоположное направлению вектора при .

Обозначим буквами основания перпендикуляров, опущенных на ось из точек А и В соответственно.

Определение 9. Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка оси и обозначается . , где - угол между вектором и осью .

Любой вектор может быть разложен по декартову прямоугольному базису : .

Числа - называется декартовыми прямоугольными координатами вектора . Обозначим буквами углы наклона вектора к осям координат; называются направляющими косинусами вектора .

Длина вектора через его координаты имеет вид .

Направляющие косинусы вектора вычисляются по формулам:

; ; ,

откуда следует .

Определение 10. Ортом вектора называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) коллинеарен вектору ,

2) .

Координатами орта вектора являются направляющие косинуса.

Если два вектора заданы в декартовых прямоугольных координат , ,то

Условие коллинеарности векторов имеет вид .

Примеры решения задач

Пример 3.В равнобедренной трапеции ОАСВ угол , , - середина сторон ВС и АС. Выразить векторы через - единичные векторы направлений .

В М С

O A

Решение. . Так как . Найдем вектор . Из треугольника ОСА , а так как , а , вектор . Найдем из треугольника ONC , а так как , , .

Из треугольника OMN .

Пример 4. Даны векторы и , приложены к общей точке. Найти орт биссектрисы угла между .

Решение. Диагональ четырехугольника совпадает с биссектрисой, если этот четырехугольник – ромб (квадрат). Найдя , получим угол с одинаковыми по длине сторонами, равными единице. Таким образом, вектор направлен по биссектрисе угла между .