Похідна функцій декількох змінних та деякі її застосування

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Задача 5.1. Знайти для функції частинні похідні першого порядку .

Розв’язання.

Обчислимо частинну похідну по змінній .

Тепер по .

Задача 5.2. Знайти частинні похідні першого та другого порядку , , , , для функції .

Розв’язання.

Обчислимо частинні похідні першого порядку.

;

Тепер обчислимо похідні другого порядку. При цьому врахуємо, що в силу теореми Шварца .

;

Задача 5.3. Знайти похідну функції , яку неявно задає рівняння .

Розв’язання.

Позначимо .

• Похідна неявно заданої функції може бути обчислена за формулою

Обчислимо частинні похідні.

Тепер за формулою

Задача 5.4. Знайти похідну показниково-степеневої функції .

Розв’язання.

Введемо нові змінні , тоді задана функція набуде вигляду .

• Для знаходження похідної цієї функції скористаємось формулою похідної складної функції:

Для функції : . Далі знайдемо звичайні похідні

Підставимо одержані вирази у формулу похідної складної функції.

Задача 5.5. Для функції знайти градієнт у точці і похідну у цій точці за напрямом вектора .

Розв’язання. За визначенням

•

Знайдемо частинні похідні першого порядку:

Обчислимо їх значення в точці :

Тоді

• Похідна функції за напрямком вектора дорівнює скалярному добутку

де – орт вектора .

Для заданого вектора знаходим

Тоді

Задача 5.6. Для заданої поверхні знайти рівняння дотичної площини і нормалі у точці М

1) ;

2) .

Розв’язання.

• Для поверхні, яка задається рівнянням , рівняння дотичної площини у точці має вигляд

а нормаль задається канонічним рівнянням виду

Маємо з умови . Значення функції

Обчислимо частинні похідні.

Тепер ми можемо записати рівняння дотичної площини.

Рівняння нормалі:

• Для поверхні, яка задається рівнянням рівняння дотичної площини у точці має вигляд

а нормаль задається канонічним рівнянням виду

Маємо з умови . Значення функції знайдемо з рівняння

Обчислимо частинні похідні.

Тепер ми можемо записати рівняння дотичної площини.

Рівняння нормалі:

Задачі для самостійної роботи

1. Знайти частинні похідні першого та другого порядку , , , , для заданої функції.

1) 2) 3) .

4) . 5) .

2. Знайти похідну функції , яку неявно задає рівняння.

1) . 2) .

3. Знайти похідну показниково-степеневої функції.

1) . 2) .

3) .

4. Для функції обчислити і якщо

5. Для функції обчислити і , якщо та .

6. Для функції обчислити і похідну у точці у напрямку найбільшого зростання функції у цій точці.

7. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у точці .

8. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у точці .

9. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у точці .

Екстремум функцій декількох змінних

Задача 5.7. Перевірити, чи являються точки та точками екстремуму функції .

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку:

, .

Оскількі похідні визначені при всіх значеннях і , то екстремуми можуть бути тількі у стаціонарних точках. Підставимо координати точки у частинні похідні.

, ,

значить точка М є стаціонарною точкою.

Для перевірки достатніх умов знайдемо частинні похідні другого порядку в точці М: , , та обчислимо вираз . Так як функція має у точці екстремум, причому, оскільки , то мінімум, .

Тепер підставимо координати точки у частинні похідні. , . Оскільки значить точка не є стаціонарною точкою, а, значить, не може бути точкою екстремуму.

Задача 5.8. Дослідити функцію на екстремум.

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку:

, .

Оскількі похідні визначені при всіх значеннях і , то екстремуми можуть бути тількі у стаціонарних точках. Знайдемо стаціонарні точки данної функції. Для цього розв’яжемо систему

Звідки , , , , . Функція має дві стаціонарні точки: .

Для перевірки достатніх умов знайдемо частинні похідні другого порядку:

Обчислимо їх значення в точці :

Перевіримо достатні умови :

Отже, екстремуму в точці немає.

Для точки :

;

Отже, точка є точкою мінімуму.

Задача 5.9. Знайти найменше та найбільше значення функції в області , яка обмежена заданими лініями .

Розв’язання. Найбільше та найменше значення функції в замкнутій області знаходяться в точках екстремуму, що належать даній області, або на її межі. Таким чином, правило знаходження найбільшого та найменшого значень диференційованої в області функції полягає у наступному:

1) Знайти всі стаціонарні точки функції, що належать , оскільки тільки в цих точках диференційована в області функція може мати екстремум. Потім обчислити в знайдених точках значення функції.

2) Знайти найбільше та найменше значення функції на границях області.

3) Порівняти всі знайденні значення функції та обрати з них найбільше М і найменше .

Зобразимо вказану область . Для цього знайдемо точки перетину прямих, що обмежують цю область. Граничні точки області: , ,

Для знаходження усіх стаціонарних точок функції знаходимо частинні похідні:

, .

Оскільки похідні визначені в усіх точках області , то екстремуми можуть бути тільки у стаціонарних точках. Для їх знаходження розв’яжемо систему рівнянь:

Стаціонарна точка не належить вказаній області, отже, значення функції в ній не береться до уваги. Далі дослідимо функцію на границі області :

1) На відрізку , .

Після підстановки отримаємо функцію однієї змінної , яка досягає свого найбільшого (найменшого) значення на кінцях проміжку або в його стаціонарних точках. Знайдемо стаціонарні точки функції: