Похідна та деякі її застосування

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Скласти рівняння площини, яка проходить через точку і пряму . 14. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно до прямої . 15. Визначити кут між прямою та площиною . 16. Перевірити перпендикулярність прямих 17. При яких значеннях і C пряма і площина перпендикулярні? 18. Обчислити відстань від точки до площини . 19. Визначити кут між двома площинами . 20. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку паралельно площині . 21. Скласти рівняння площини, яка проходить через вісь та точку . 22. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки , паралельно осі .

IV. Вступ до аналізу функцій однієї змінної

Границі

Задача 4.1. Обчислити границю

1) ;

2) .

Розв’язання.

У останньому дробі чисельник прямує до числа 5, а знаменник до нуля, тому дріб при необмежено збільшується. В такому випадку кажуть, що границя дорівнює нескінченності.

Задача 4.2. Обчислити границю .

Розв’язання. Границя при неперервної у точці функції дорівнює значенню функції у цій точці. Оскільки всі елементарні функції неперервні на своїй області визначення, а функція під знаком границі є елементарною, то її границю можна знайти просто підставивши цю точку у функцію, при умові, що точка належить області визначення.

Підставимо у функцію. Знаменник дробу при даному значенні дорівнює нулю, чисельник теж, отже не належить області визначення функції, а значить знайти границю таким простим способом нам не вдасться. Більше того, якби чисельник не дорівнював нулю , ми могли б сказати, що границя дорівнює нескінченності, як у попередньому прикладі.

В нашому ж випадку ми зіткнулися з ситуацією, яку зазвичай позначають як та називають невизначеністю. Подальші наші дії будуть направлені на розкриття невизначеності, яке буде полягати у скороченні дробу на вираз , тобто у нашому випадку на .

Для того, щоб скоротити дріб на , ми розкладемо чисельник та знаменник на множники. У чисельнику для цього скористаємось формулою розкладання квадратного тричлена:

• ,

де – корені квадратного рівняння .

В нашому випадку рівняння має корені , тому .

Для розкладення на множники знаменника виконаємо ділення многочленів „кутком”:

Таким чином . Тепер наведемо обчислення границі:

Задача 4.3. Обчислити границю

1) ;

2) .

Розв’язання.1)

Задача 4.4. Обчислити границю .

Розв’язання.

Задача 4.5. Обчислити границю

1) ;

2) .

Розв’язання.

Задача 4.6. Обчислити границю

1) ;

2) .

Розв’язання.

Задача 4.7. Знайти точки розриву функції та вказати їх тип

Розв’язання. Для дослідження на неперервність функції у точці необхідно обчислити, по-перше, границю у цій точці справа , по-друге, границю зліва , по-третє, значення функції , якщо функція у точці визначена. Далі висновок можна зробити наступним чином:

I. Якщо існують обидві скінчені границі, та

то точка є точкою неперервності функції .

II. Якщо існують обидві скінчені границі, та

то точка називається точкою усувного розриву (вважаємо що нерівність виконується і тоді, коли функція в точці невизначена).

III. Якщо існують обидві скінчені границі та

то точка називається точкою розриву першого роду.

IV. Якщо хоча б одна з границь або не існує (у тому числі є нескінченою), то точка називається точкою розриву другого роду.

Оскільки кожна з трьох функцій справа від фігурної дужки є неперервною на відповідному інтервалі, то задана функція може мати розриви лише у точках та .

Дослідимо спочатку точку . Маємо

та .

Оскільки , то точка є точкою неперервності функції.

Тепер дослідимо точку . Маємо

та .

Оскільки одна з односторонніх границь не існує, то точка є точкою розриву другого роду.

Зобразимо графік заданої функції на рисунку.

Задача 4.8. Знайти точки розриву функції та вказати їх тип

Розв’язання. Точками розриву заданої функції можуть бути лише точки, які не входять в її область визначення, тобто точки, в яких знаменник дорівнює нулю. Розв’язуючи рівняння маємо корені .

Дослідимо спочатку точку . Маємо

Оскільки , а у точці функція невизначена, то точка є точкою усувного розриву функції.

Тепер дослідимо точку . Маємо

Оскільки односторонні границі та не існують, то точка є точкою розриву другого роду.

Задачі для самостійної роботи

1. Обчислити границі

1) . 2) . 3) .
4) . 5) . 6) .
7) . 8) . 9) .
10) .     11) . 12) .
13) .         14) .        15) .
16) .                       17) .

2. Знайти точки розриву функції та вказати їх тип. Зробити креслення.

1) 2)
3)

3. Знайти точки розриву функції та вказати їх тип.

1) , 2) .

Похідна та деякі її застосування

Задача 4.9. Знайти похідну заданої функції

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Розв’язання.

Задача 4.10. Знайти похідні другого порядку

1) ;

2) .

Розв’язання.

1) Обчислимо першу похідну.

Тепер обчислимо другу похідну.

• Обчислимо похідну параметрично заданої функції за формулою

Маємо , .

Тобто

• Тепер обчислимо другу похідну за формулою

Тобто для нашої функції одержимо

Задача 4.11. Знайти границі, застосувавши правило Лопіталя

1) ;

2) ;

Розв’язання.

• Правило Лопіталя представляє собою наступну формулу

яка справедлива при умові, що в першій границі має місце одна із невизначеностей, які перелічені у квадратних дужках.

Проведемо обчислення заданої границі.

Задача 4.12. Скласти рівняння дотичної та нормалі до графіка функції в точці з абсцисою .

Розв’язання.

• Рівняння дотичної до графіка функції задається формулою , де та .

У нашій задачі . Знайдемо похідну

Тоді .

Значить рівняння дотичної має вигляд

Нормаль – це пряма, яка проходить в заданій точці перпендикулярно до дотичної. Нормальний вектор дотичної є напрямним для нормалі, відповідно для нормалі ми можемо записати канонічне рівняння у вигляді