Дослідження функцій та побудова їх графіків

Задача 4.14. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Розв’язання.

Якщо функція неперервна на замкненому відрізку, то свої найменше та найбільше значення вона приймає або в точках екстремуму, або на кінцях відрізку. Тому для знаходження найбільшого та найменшого значень функції ми знайдемо її критичні точки, після чого порівняємо значення функції у цих точках та на кінцях відрізку.

Спочатку обчислимо похідну.

Прирівняємо похідну до нуля.

Це рівняння має корені – критичні (стаціонарні) точки нашої функції. Перша з критичних точок не належить заданому відрізку, тому її ми не розглядаємо. В інших критичних точках та на кінцях відрізку обчислимо значення функції.

Отже найбільше значення функції , а найменше – .

Задача 4.15. Провести повне дослідження функцій та побудувати їх графіки

1) ;

2) ;

3) .

Розв’язання.

1)Дослідження функції здійснюється згідно наступної схеми:

а) Область визначення: ;

б) Функція не є ні парною, ні непарною, так як . Оскільки рівняння не має дійсних коренів, то графік функції не має точок перетину з віссю , але перетинає вісь в точці (0,-1).

в) Точка розриву , причому

;

отже, пряма є вертикальною асимптотою графіка.

Знайдемо похилі асимптоти у вигляді :

Таким чином, рівняння похилої асимптоти .

г) Для знаходження точок екстремуму і проміжків монотонності обчислимо першу похідну функції:

Похідна визначена в усіх точках , тому екстремум може бути тільки в стаціонарних точках. Їх знаходять з умови

Так, точки стаціонарні. Вони розбивають область визначення функції на інтервали , причому на проміжках та (функція зростає) і на проміжку (функція спадає). Точки екстремуму:

1) максимум при , причому ,

2) мінімум при , причому .

д) Визначимо інтервали опуклості, угнутості, а також точки перегину. Для цього знайдемо другу похідну:

Так як на проміжку , то на ньому графік угнутий. При , отже, графік опуклий. Точок перегину нема, оскільки .

е) Використовуючи отримані дані, будуємо графік.

2) а) Область визначення функції: .

б) Перевіримо парність функції: . Отже, оскільки не виконуються ні рівність , ані , то дана функція є функцією загального вигляду.

в) Знайдемо асимптоти графіка функції. Значення є точкою розриву. При цьому

Тому (вісь ) є вертикальною асимптотою.

Шукатимемо похилі асимптоти у вигляді окремо при та при . При використаємо правило Лопіталя:

, значить при похилих асимптот немає.

При

, ,

значить при – горизонтальна (оскільки ) асимптота.

г) Визначимо інтервали монотонності функції та наявність точок екстремуму. Обчислимо похідну та прирівняємо до нуля:

, , .

Таким чином, – критична точка функції. Ця точка розбила область визначення функції на інтервали: , , . На кожному інтервалі зберігає знак, причому на проміжках , (функція зростає) і на проміжку (функція спадає). При функція досягає мінімуму, .

д) Далі визначимо інтервали опуклості та угнутості функції та точки перегину її графіку. Для цього обчислимо другу похідну та прирівняємо її до нуля.

, .

Останнє рівняння дійсних коренів не має, тому точки перегину відсутні. Оскільки при , на цьому інтервалі графік функції опуклий, а при графік функції угнутий, тому що .

е) За результатами проведеного дослідження побудуємо графік функції

3) Виконаємо дослідження заданої функції.

а) Для знаходження області визначення розв’яжемо нерівність . Маємо область визначення: .

б) Функція не є ні парною, ні непарною, так як . Для знаходження точок перетину графіка з віссю розв’яжемо рівняння . Одержуємо

, , ,

значить графік функції перетинає вісь у точці (–4,0). Графік не перетинає вісь , оскільки не належить ОДЗ функції.

в) Знайдемо вертикальні асимптоти. Для цього обчислимо

; ,

отже, прямі та є вертикальними асимптотами графіка. Шукаємо похилі асимптоти у вигляді :

Таким чином, рівняння горизонтальної ( ) асимптоти .

г) Для знаходження точок екстремуму і проміжків монотонності обчислимо першу похідну функції:

Похідна визначена в усіх точках з інтервалів , тому екстремум може бути тільки в стаціонарних точках. Їх знаходимо з умови

Дане рівняння розв’язків не має, відповідно не має і стаціонарних точок. Визначимо знак похідної. Одержимо, що на всій області визначення нашої функції, отже функція спадає на кожному з проміжків та . Точок екстремуму функція не має.

д) Визначимо інтервали опуклості, угнутості, а також точки перегину. Для цього знайдемо другу похідну:

Прирівняємо похідну до нуля.

Так як точка не належить області визначення функції, точок перегину графік не має. на проміжку , значить на цьому інтервалі графік угнутий. При , отже, графік опуклий.