Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,65. Найти вероятность того, что событие появится менее чем в половине случаев.

Решение:

- число независимых испытаний; - вероятность появления события в одном испытании. Имеем схему Бернулли. Т.к. число испытаний велико, то вероятность появления события менее чем в половине случаев найдем по интегральной формуле Муавра-Лапласа: .

Найдем искомую вероятность:

Ответ: .

10. Среди шариков для подшипников 0,5% никелированы. Определить вероятность того, что в партии из 1000 шариков никелированных шариков будет 7 шт.

Решение:

Партия состоит из шариков. - вероятность того, что шарик никелирован.

Т.к. число испытаний велико, а вероятность мала, то для решения задачи воспользуемся формулой Пуассона: , где .

Искомая вероятность равна:

Ответ: .

Часть 2

ДСВ Х задана законом распределения

	-1	2	3	9
	0,1	0,25		0,15

Найти вероятность , построить многоугольник распределения и функцию распределения.

Решение:

Найдем неизвестную вероятность :

Ряд распределения принимает вид:

	-1	2	3	9
	0,1	0,25	0,5	0,15

Построим многоугольник распределения:

Найдем функцию распределения :

;

Функция распределения ДСВ Х имеет вид:

Строим график :

ДСВ Х задана законом распределения

	-1	2	3	9
	0,1	0,25	0,5	0,15

Найти моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение ДСВ Х.

Решение:

Мода – это варианта с наибольшей вероятностью.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

В урне находится 3 белых и 7 черных шаров. Наудачу отобрано два шара. Найти математическое ожидание и дисперсию ДСВ Х – число белых шаров.

Решение:

Всего 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Отбирают два шара.

ДСВ Х – число белых шаров, среди отобранных шаров. Составим ряд распределения ДСВ Х.

Х=0- среди отобранных шаров нет белых.

;

Х=1- среди отобранных шаров один белый шар.

;

Х=2- среди отобранных шаров два белых шара.

;

Ряд распределения ДСВ Х имеет вид:

	0	1	2

Математическое ожидание:

Дисперсия:

4. Задана плотность распределения НСВ Х . Найти постоянную , функцию распределения и вероятность выполнения неравенства .

Решение:

Найдем неизвестный параметр . По свойству плотности распределения вероятностей: . Получаем:

. Плотность распределения принимает вид: .

Найдем функцию распределения .

;

Функция распределения НСВ Х имеет вид:

Найдем вероятность выполнения неравенства :

5. Задана плотность распределения НСВ Х . Определить начальные и центральные моменты НСВ первого и второго порядков.

Решение:

Начальный момент 1-го порядка:

Начальный момент 2-го порядка:

Центральный момент 1-го порядка:

Центральный момент 2-го порядка:

6. НСВ Х распределения по стандартному закону. Определить вероятность выполнения неравенства .

Решение:

Т.к. НСВ Х распределена по стандартному закону то , а .

Вероятность выполнения неравенства найдем по формуле: .

Искомая вероятность равна:

Ответ: .

НСВ Х распределения по стандартному закону. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадает НСВ Х в результате испытания.

Решение:

Воспользуемся формулой: .

Т.к. НСВ Х распределена по стандартному закону то , а .

Найдем . По условию задачи .

Длина интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадает НСВ Х в результате испытания равна 3+3=6.

Ответ: 6.

8. НСВ Х распределена по показательному закону с параметром . Найти вероятность того, что в результате испытания НСВ Х примет значение лежащее в интервале (0,15;0,65).