Принятие решений в условиях неопределённости
Для принятия решений в условиях неопределённости наиболее часто используют критерии Лапласа, максимина (Вальда), Сэвиджа и др.
Пусть имеется множество из m альтернативных вариантов (стратегий) решения проблемы Р1…Р m. Указанные варианты считаются контролируемыми (управляемыми факторами). Наряду с управляемыми факторами действуют факторы П1…П n, которые не поддаются контролю. К ним можно отнести, например, уровень спроса на товары, рыночные цены, условия эксплуатации технических и производственных систем и т. д. (таблица 5.2).
Таблица 5.2 – Матрица решений [Wij]
| Варианты | Реализации вариантов, П | |||
| 1 | 2 | … | n | |
| 1 | W11 | W12 | … | W1n |
| 2 | W21 | W22 | … | W2n |
| 3 | W31 | W32 | … | W3n |
| … | … | … | … | … |
| m | Wm1 | Wm2 | … | Wmn |
По критерию Лапласа в качестве оптимального выбирается такой вариант решения, для которого наблюдается максимальное значение среднего арифметического всех реализаций:
,
где 
– сумма всех возможных ожидаемых значений; 
– количество реализаций каждого из вариантов.
В соответствии с критерием Вальда(максимина) в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем
.
Матрица решений [Wi j] дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов W ij каждой строки. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение W ij этого столбца. Выбранное таким образом решение полностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется.
|
|
|
В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации
.
Каждый элемент матрицы решений [Wij] вычитается из наибольшего результата max Wij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу рисков. Эта матрица дополняется столбцом наибольших разностей Wi j. Выбирается тот вариант, в строке которого наименьшее значение.
Пример задачи принятия решений
Предприятием сельскохозяйственного машиностроения осваивается производство трёх типов товаров (A1, A2, A3), опытные партии которых реализуются в различных пунктах (B1, B2, B3, B4). Продажа опытных партий дала следующие результаты (таблица 5.3). Ввиду значительных объёмов опытных партий установлено, что значения доходов подчиняются нормальному закону распределения. Требуется выбрать наиболее выгодный товар. Для решения задачи использовать критерии: 1) (О.З. – К×D); 2) Лапласа; 3) Вальда; 4) Сэвиджа.
Таблица 5.3 – Матрица доходов от реализации товаров за 1 месяц
|
|
|
| Товар | Доход от реализации, тыс. руб., в пунктах | |||
| B1 Ярославль | B2 Рыбинск | B3 Тутаев | B4 Углич | |
| A1 – мотоблок «Нева» | 40 | 20 | 30 | 10 |
| A2 – мотоблок «Салют» | 20 | 35 | 20 | 20 |
| A3 – мотоблок «Каскад» | 30 | 15 | 25 | 10 |
Решение.
1) Для расчёта значений критерия (О.З. – К×D) принимаем коэффициент несклонности к риску К = 0,5. Дисперсию D оцениваем приближённо как квадрат 1/6 части размаха R (разности между максимальным и минимальным значением). Так, дисперсия и О.З. для товара А1 будут равны
; О.З. = 
.
2) В основе критерия Лапласа лежит принцип «недостаточного основания»: когда невозможно выяснить вероятности возникновения того или иного состояния, им сопоставляют равные вероятности, находят средний эффект для каждого из рассматриваемых вариантов решения и выбирают тот из них, где средний эффект максимален.
Критерий Лапласа рассчитывается как среднее арифметическое значений каждой строки матрицы доходов. Например, для А1 получаем значение критерия 
.
3) Критерий Вальда (максимина) для доходов более пессимистичен, чем критерий Лапласа. Величина критерия Вальда определяется как максимальное значение среди минимальных по строкам.
Результаты расчётов сводим в таблицу 5.4.
|
|
|
Таблица 5.4 – Таблица результатов расчёта критериев (О.З. – К×D), W Л и W В
| B1 | B2 | B3 | B4 | Критерий О.З. – К×D | Критерий Лапласа WЛ | Критерий Вальда WВ | |
| A1 | 40 | 20 | 30 | 10 | 87,5 | 25,0 ( max) | 10 |
| A2 | 20 | 35 | 20 | 20 | 91,9 ( max) | 23,8 | 20 ( max) |
| A3 | 30 | 15 | 25 | 10 | 74,4 | 20,0 | 10 |
| Наиболее выгодный товар: | A2 | A1 | A2 | ||||
4) При определении значений критерия Сэвиджа на основании матрицы доходов рассчитывается матрица рисков (см. таблицу 5.5). Для этого в каждом столбце матрицы доходов находится максимальное значение, а затем каждое значение дохода в столбце вычитается из максимального.
К полученным таким образом результатам применяется критерий минимакса, т. е. выбирается тот вариант, в строке которого наименьшее значение.
Таблица 5.5 – Таблица результатов расчёта критерия WС
| Товар | Матрица доходов | Матрица рисков | Критерий Сэвиджа WС | ||||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | B1 | B2 | B3 | B4 | ||
| A1 | 40 | 20 | 30 | 10 | 40 – 40=0 | 15 | 0 | 10 | 15 |
| A2 | 20 | 35 | 20 | 20 | 40 – 20=20 | 0 | 10 | 0 | 10 ( min) |
| A3 | 30 | 15 | 25 | 10 | 40 – 30=10 | 20 | 5 | 10 | 20 |
| max в столбце | 40 | 35 | 30 | 20 | Наиболее выгодный | А2 | |||
Проанализировав таблицы 5.4 и 5.5, можно сделать вывод, что имеет место разная выгодность товаров при использовании критериев с разной степенью учёта риска и разной полнотой использования исходной информации. Так, по критериям (О.З. – К×D), Вальда и Сэвиджа наиболее выгодным является товар А2 (мотоблок «Салют»), а по критерию Лапласа – товар А1 (мотоблок «Нева»). При этом, следует обратить внимание на то, что при расчёте критериев Вальда и Сэвиджа принимаются во внимание не все результаты, а лишь самый плохой или, наоборот, самый лучший, а потому часть информации теряется.
|
|
|
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 301; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!