ТК-2. Основные понятия теории цепей Маркова

 

Задача 1.    Опишите эволюцию вектора состояния

Методическое указание

Эволюция вектора состояния в цепи Маркова описывается уравнением S^k+1= PS^k

 

Задача 2. Составьте матрицу переходных вероятностей размером 4х4, если переходы разрешены только вправо в соседнюю и последующую за ней ячейки. Последняя ячейка – абсорбирующая.

Методическое указание

Вспомните, как располагаются по столбцам вероятности переходов между ячейками. См.[2], раздел 1.2.

 

Задача 3. Дает ли следующая матрица переходных вероятностей асимптотически равномерное распределение.

Методическое указание

Вспомните, какие требования накладываются на строки матрицы, чтобы асимптотическое распределение было равномерным. См.[2], раздел 1.2.

 

Задача 4. Составьте матрицу переходных вероятностей для следующего графа цепи

 

 

Методическое указание

Вспомните, как располагаются по столбцам матрицы вероятности переходов между ячейками. См.[2], раздел 1.2.

Задача 5. Поток вероятности в абсорбирующую ячейку задан линейно убывающей функцией, q(t), показанной на графике. Определите q₀ и <t>

 

Методическое указание

Используйте формулы

 и . Вспомните простой аналог второй операции.

 

ПК-2. Основы теории цепей Маркова

 

Задача 1. Матрица переходных вероятностей  обеспечивает асимптотически равномерное распределение. Заполните ее недостающие элементы

 

               

Методическое указание

Используйте формулы

, j=1,2,…,m и ,  i=1,2,…,m

Задача 2. Для матрицы  найдите асимптотической распределение вероятностей состояния.

Методическое указание

Асимптотической распределение есть собственный вектор матрицы переходных вероятностей, соответствующий собственному числу, равному единице.

 

Задача 3. Чему равно среднее число переходов <k> , если q₁=0,05; q₂=0,4; q₃=0,55.

Методическое указание

Воспользуйтесь формулой

Задача 4. Составьте матрицу переходных вероятностей размером 4х4, если переходы разрешены только влево в соседнюю и последующую за ней ячейки. Края цепи закрыты.

Методическое указание

Вспомните, как располагаются по столбцам матрицы вероятности переходов между ячейками. См.[2], раздел 1.2.

Задача 5. Рассчитайте последовательность q_k для  при .

Методическое указание

Воспользуйтесь формулой q_k= S_m^k+1 - S_m^k = S_m-1^k p_m,m-1

 

Задача 6. Составьте матрицу переходных вероятностей для следующего графа цепи

 

 

Методическое указание

Вспомните, как располагаются по столбцам матрицы вероятности переходов между ячейками. См.[2], раздел 1.2.

 

Задача 7. Для данного графа цепи составьте матрицу переходных вероятностей, отметив в ней 0, 1 и крестиками ненулевые элементы.

 

 

 

 

Методическое указание

Преобразуйте двумерную цепь в одномерную. Вспомните, как располагаются по столбцам матрицы вероятности переходов между ячейками. См.[2], раздел 2.4.

 

Задача 8. Опишите эволюцию вектора состояния

Методическое указание

Эволюция вектора состояния в цепи Маркова описывается уравнением S^k+1= PS^k

 

Задача 9. Поток вероятности в абсорбирующее состояние задан непрерывной функциейq(t)=aexp(-at). Определите среднее время пребывания частиц.

 

Методическое указание

Используйте формулы

 и . 

 

Задача 10. Является ли цепь, описываемая матрицей , эргодической?

Методическое указание

Воспользуйтесь определением Если в цепи любое состояние достижимо из любого другого, то цепь называется эргодической.

 

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 452; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!