ПК-1. Уравнения математической физики
ТК1. Параболические уравнения в частных производных
Задача 1. К какому виду относится уравнение?
Методическое указание
Приведите уравнение к виду 
, составьте дискриминант
В2-АС и по его знаку определите вид уравнения.
Задача 2. По приведенному графику распределения концентрации постройте качественно график распределения потока вещества.
 | ||||||
 | ||||||
 | ||||||
 | ||||||
Методическое указание
Воспользуйтесь законом Фика 
Задача 3. На графике показана эволюция распределения концентрации вещества на отрезке при «чистой» диффузии. Какого рода краевые условия были поставлены на границах отрезка.
Методическое указание
Если на границе с=0, то 1-й род, если 
, то 2-й род, если 
, то 3-й род.
Задача 4. Запишите дифференциальное уравнение «чистой» диффузии со стационарным источником вещества на отрезке.
Методическое указание
См. [1], раздел 2.6
Задача 5. В начальный момент времени масса m0=2 кг равномерно распределена на отрезке
[0,5 1] отрезка [0 2]. Изобразите графики начального и асимптотического распределения концентрации при «чистой» диффузии для краевых условий 2-го рода.
Методическое указание
Для начального распределения используйте формулу 
, для асимптотического – условие отсутствия потока вещества в любой точке отрезка.
Задача 6. Качественно изобразите график потока вещества через проницаемую границу. Какой формулой связан этот поток с полной массой вещества, покинувшего отрезок через эту границу.
|
|
|
Методическое указание
См. [1], раздел 2.4.
Задача 7. На рисунке показан график потока вещества через границу отрезка. Определите среднее время пребывания вещества, вышедшего из отрезка через эту границу.
 | |||||||
 | |||||||
 | |||||||
 | |||||||
Методическое указание
Среднее время пребывания рассчитывается по формуле 
. Вспомните простой аналог этой операции.
Задача 8. В начальный момент времени масса диффундирующего вещества m0 распределена на отрезке [0 l] по закону 
. Определите А.
Методическое указание
Концентрация и масса связаны соотношением
Задача 9. В начальный момент времени масса диффундирующего вещества m0=2 кг распределена на отрезке [0 π] по закону 
. Запишите решение уравнения «чистой» диффузии при краевых условиях 1-го рода.
Методическое указание
См. [1], раздел 2.4.
Задача 10. Запишите уравнение теплопроводности.
Методическое указание
См. [1], раздел 2.9.
****************************************************
Гиперболические уравнения
Задача 1. Дифференциальное уравнение колебаний струны длиной π м имеет вид
|
|
|
. Начальные скорости точек струны равны нулю. Какова главная собственная частота колебаний?
Методическое указание
См. [1], раздел 3.2.
Задача 2. Дифференциальное уравнение колебаний струны длиной π м имеет вид
. Начальные условия 
и 
.
Найдите решение уравнения.
Методическое указание
См. [1], раздел 3.2.
Задача 3. Начальное отклонение точек струны показано на рисунке. Начальные скорости точек струны равны нулю. Опишите 2-ю и 4-ю гармоники колебаний.
Методическое указание
Вспомните формулу разложения функции в ряд Фурье.
Задача 4. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний струны длиной π м имеет вид
. Начальные условия 
и .
Будут ли наблюдаться в колебаниях резонансные явления? Докажите.
Методическое указание
Определите собственные частоты и сравните с частотой вынуждающей силы.
Задача 5. Начальное отклонение точек струны показано на рисунке. Начальные скорости точек струны равны нулю.
Изобразите форму струны через половину периода колебаний.
Методическое указание
Воспользуйтесь законом сохранения энергии струны.
ПК-1. Уравнения математической физики
|
|
|
Задача 1. К какому виду относится уравнение?
Методическое указание
Приведите уравнение к виду 
, составьте дискриминант
В2-АС и по его знаку определите вид уравнения.
Задача 2. В начальный момент времени масса m0=2 кг равномерно распределена на отрезке
[0,5 1] отрезка [0 2]. Изобразите графики начального и асимптотического распределения концентрации при «чистой» диффузии для краевых условий 2-го рода.
Методическое указание
Для начального распределения используйте формулу , для асимптотического – условие отсутствия потока вещества в любой точке отрезка.
Задача 3. Запишите расчетное выражение для явной разностной схемы решения параболического уравнения. Как записываются для нее краевые условия первого рода.
Методическое указание
См. [1], раздел 2.8.
Задача 4. Дифференциальное уравнение колебаний струны длиной π м имеет вид
. Начальные условия и .
Найдите решение уравнения.
Методическое указание
См. [1], раздел 3.2.
Задача 5. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний струны длиной π м имеет вид
. Начальные условия и .
Будут ли наблюдаться в колебаниях резонансные явления? Докажите.
|
|
|
Методическое указание
Определите собственные частоты и сравните с частотой вынуждающей силы.
Задача 6. В начальный момент времени масса диффундирующего вещества m0 распределена на отрезке [0 l] по закону . Определите А.
Методическое указание
Концентрация и масса связаны соотношением
Задача 7. Дифференциальное уравнение колебаний струны длиной π м имеет вид
. Начальные скорости точек струны равны нулю. Какова главная собственная частота колебаний?
Задача 8. Как записываются условия Дирихле для решения уравнения Лапласа на плоскости.
Методическое указание
См. [1], раздел 4.1.
Задача 9. Запишите одномерное уравнение теплопроводности. Как записываются краевые условии 2-го рода для этого уравнения?
Методическое указание
См. [1], раздел 2.9.
Задача 10. На отрезке [0 l] происходит «чистая» диффузия с краевыми условиями 1-го рода. Во внутренней точке отрезка действует стационарный источник. Изобразите асимптотическое распределение концентрации.
Методическое указание
При асимптотическом распределении поток вещества в обе стороны от источника постоянен. См. также [1], раздел 2.6.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 235; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!