Напряжения во вращающемся диске или цилиндре.

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг неподвижной точки с постоянной угловой скоростью w (рис.54). Вырежем бесконечно малый элемент, ограниченный центральным углом dQ и двумя дугами окружности – радиусами r и r+dr. Рассмотрим равновесие этого элемента.

Запишем сумму всех сил, действующих на рассматриваемый бесконечно малый элемент, на направление радиуса:

Продольная сила равна

,

тогда       

dN = .

 

 

 

 

Рис.54

Тангенциальная сила и масса элемента равны соответственно

 

 

Тогда уравнение равновесия примет вид:

 

Откуда

                                                                                             (48)

 

Последнее выражение содержит две неизвестные функции – σ_r и σ_Θ, для определения которых запишем уравнения Коши:

                                                                                                                         (49)

Закон Гука для вращающего диска:

                                                                                                    (50)

, .

 

Запишем условие совместности деформаций (условие Сен-Венана):

 

 

Учитывая, что , получим:

 

= .

 

Уравнение Бельтрами-Митчела:

 

                                                                                      (51)

                                                                                              (52)

Из уравнения (52): ,

из уравнения (51):

 

 

Проинтегрируем обе части последнего выражения по r и решим уравнение совместно с уравнением (52):

                                                                                  (53)

Сложим уравнения (52) и (53):

                                                                   (54)

 

                                                

 

Подставим последнее выражение в уравнение (54):

 

 

 

После интегрирования по r получим:      

 

 

                                                                                       (55)

 

Из (55) и (53):

 

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий.

 

 

Усталостное разрушение

Многие детали машин и элементы сооружений в процессе эксплуатации подвергаются действию нагрузок, меняющихся во времени. Сопротивление материалов действию таких нагрузок существенно отличается от сопротивления действию статической нагрузки. При этом под действием переменных нагрузок элементы конструкций разрушаются при значительно меньших напряжениях, чем под действием статических нагрузок.

Практикой установлено, что если элемент конструкции многократно подвергать переменному нагружению определенного уровня, то после некоторого числа перемен напряжений в нем появится трещина, которая постепенно будет развиваться. В конце концов, деталь разрушится, не дав при этом заметных остаточных деформаций даже в том случае, когда ее материал высоко пластичен.

Число циклов до появления первой трещины и до полного разрушения стержня будет тем больше, чем меньше напряжение. Характерно, что разрушение материала под действием повторно-переменных нагрузок может произойти при напряжениях ниже предела текучести. Разрушение материала под действием повторно-переменных напряжений называется разрушением от усталости.

Вообще же усталостью материала называют явление разрушения в результате постепенного накопления в нём повреждений, приводящих к возникновению усталостной трещины при многократном повторении нагружений.

Способность материалов сопротивляться разрушению при действии повторно-переменных напряжений называется выносливостью материала.

 

Усталостное разрушение наблюдается при наличии одной из следующих особенностей приложения нагрузки:

 

- многократное приложение нагрузки одного знака (рис.55);

 

Рис.55

 

- многократного повторения нагрузки, периодически изменяющейся не только по величине, но и по знаку (рис.56). 

 

 

Рис.56

 

Для разрушения от усталости недостаточно переменности напряжений. Необходимо также, чтобы напряжения имели определенную величину.

Максимальное напряжение, при котором материал способен сопротивляться, не разрушаясь, при любом произвольно большом числе повторений переменных напряжений, называется пределом выносливости.

Излом детали от усталости имеет характерный вид. На нем почти всегда можно наблюдать две зоны. Одна из них гладкая, притертая, образованная вследствие постепенного развития трещины, другая – крупнозернистая, образовавшаяся при окончательном изломе ослабленного развившейся трещиной сечения детали.

Механизм образования трещин при повторно-переменных нагрузках весьма сложен и не может считаться полностью изученным.

 

Из несомненных положений теории усталости можно отметить следующие:

- процессы, происходящие при повторно-переменных нагрузках в металле, носят резко выраженный местный характер;

- из двух видов напряжений – нормальных и касательных – решающее влияние на процессы усталости до образования первой трещины включительно имеют касательные напряжения, вызывающие пластические сдвиги и разрушение.

 

Развитие усталостной трещины, несомненно, может ускоряться при наличии растягивающих напряжений как у пластичных, так и, в особенности, у малопластичных и хрупких материалов типа чугуна, в которых появление трещины отрыва значительно повышает чувствительность к растягивающим напряжениям.

Образование трещин чаще всего наблюдается в зернах, лежащих ближе к поверхности детали. Объясняется это тем, что поверхностные слои материала в известной степени имеют следы повреждений различными технологическими операциями при обработке детали (внутренние напряжения, следы механической обработки), не говоря уже о тех случаях, когда наружные слои при повторно-переменных нагрузках испытывают наибольшие напряжения (при изгибе и кручении).

Предел выносливости определяют экспериментально. Он зависит от целого ряда факторов, в частности, от формы и размеров детали, способа ее обработки, состояния поверхности детали, вида напряженного состояния, закона изменения нагрузки во времени при испытаниях и т.п.

 

Характеристики циклов

При рассмотрении сопротивления материалов действию переменных напряжений в большинстве случаев инженерной практики предполагается, что эти напряжения представляют собой периодические функции во времени.

Совокупность всех значений напряжений за время одного периода называется циклом напряжений.

На усталостную прочность в основном влияют максимальные s_max и минимальные s_min напряжения цикла (рис.57). Кроме них существует понятие среднего напряжения цикла s_m  и амплитуды s_а.

 

 

Рис.57

 

s_m = ,

s_а = .

 

Среднее напряжение может быть как положительным, так и отрицательным, амплитуда же цикла определяется абсолютной величиной (без учета знака). Удвоенная величина амплитуды колебаний напряжений называется размахом цикла. 

Отношение минимального напряжения цикла к максимальному с учетом знаков этих напряжений называется коэффициентом асимметрии цикла:

r = .

 

Различным законам изменения напряжений соответствуют различные виды циклов:

- симметричный (s_max = -s_min, s_m = 0, r = -1) (рис. 58а);

- пульсационный или отнулевой (s_max = 0 или s_min = 0, r = 0) (рис. 58б);

- асимметричный (s_{ma x} ¹ -s_min, s_m ¹ 0) (рис. 58в).

 

 

 

             а)                                         б)                                        в)

Рис.58

 

Наиболее опасным является симметричный цикл.

 

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 867; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!