Закон парности касательных напряжений
В окрестностях произвольной точки напряжённого тела выделим элементарный объём в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. На каждой из граней действует по три составляющих напряжения – нормальное напряжение и два касательных (рис. 20).
Рис. 20
Составим уравнение равновесия выделенного элемента в форме суммы моментов всех сил относительно оси X:
SМх = 0,
sу×dx×dz×dy - sу×dx×dz×dy + sz×dx×dy×dz - sz×dx×dy×dz + txy×dy×dz× - txy×dy×dz× +
+ txz×dy×dz× - txz×dy×dz× + tzy×dx×dy×dz - tyz×dx×dz×dy = 0,
приведя подобные слагаемые и упростив выражение, получим:
tzy = tyz. (29)
Составляя уравнения равновесия относительно осей Y и Z, получим аналогичные выражения:
tzх = tхz, (30)
tхy = tyх.
Полученные выражения (29), (30) определяют закон парности касательных напряжений: касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены либо к общему ребру, либо от него.
Напряжения на наклонных площадках
Элементарный объём в форме параллелепипеда, расположенный таким образом, чтобы его грани совпадали с координатными плоскостями, рассечем наклонной плоскостью (рис. 21).
|
|
Рис. 21
Положение наклонной площадки характеризуется вектором нормали n с направляющими косинусами l, m, n. На наклонной площадке площадью dF действует полное напряжение Р с проекциями по осям Рх, Ру, Рz. Пусть нормальные и касательные напряжения на гранях, совпадающих с координатными плоскостями, известны. Необходимо найти нормальное и касательное напряжение на наклонной площадке – sn и tn. Площадки, отсекаемые на координатных плоскостях, будут иметь площади:
dFx = dF×l, dFy = dF×m, dFz = dF×n.
Составим уравнение равновесия сил в проекции на ось Х:
SХ = 0,
Px×dF - sx×dFx - tyx×dFy - tzx×dFz = 0,
Px×dF - sx×dF×l - tyx×dF×m - tzx×dF×n = 0,
Px = sx×l + tyx×m + tzx×n. (31)
Аналогично, составляя уравнения равновесия сил на оси Y и Z, получаем выражения для двух других проекций полного напряжения:
Py = txy×l +sy×m + tzy×n,
Pz = txz×l + tyz×m +sz×n. (32)
Чтобы определить нормальное напряжение на наклонной площадке, спроецируем проекции полного напряжения на нормаль.
|
|
sn = Px×l + Py×m + Pz×n =
= sx×l2 + tyx×m×l + tzx×n×l + txy×l×m +sy×m2 + tzy×n×m + txz×l×n + tyz×m×n +sz×n2 .
С учетом закона парности касательных напряжений – (29) и (30), получаем основную квадратичную форму нормальных напряжений:
sn = sx×l2 + sy×m2 +sz×n2 + 2tyx×m×l + 2tzx×n×l + 2tzy×n×m. (33)
Полученное выражение позволяет определить нормальное напряжение на любой наклонной площадке, поскольку при выводе этого выражения никаких ограничений на положение площадки не накладывалось. Теперь найдем величину касательного напряжения на наклонной площадке:
Р2 = Px2 + Pу2+ Pz2 = sn2 + tn2,
tn2= Px2 + Pу2+ Pz2 - sn2. (34)
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 374; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!