Геометрические характеристики сечения

 

Сопротивление стержня различным видам деформаций часто зависит не только от материала и размеров, но и от очертаний оси, формы поперечного сечения и их расположения относительно направления действующих нагрузок. Рассмотрим основные геометрические характеристики поперечных сечений стержня, отвлекаясь от физических свойств изучаемого объекта.

1. Площадь поперечного сечения. Данная величина может быть только положительной и имеет размерность [м²]:

                                              F= .                                                   (1)

 

2. Статические моменты инерции. Данная величина может быть любого знака и имеет размерность [м³]:

 

                                                      S_х= ,                                                  (2)

S_у= .

 

Оси, относительно которых статические моменты равны нулю, называются центральными. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.

3. Осевые моменты инерции. Данная величина может быть только положительной и имеет размерность [м⁴]:

 

                                                      I_х= ,                                                 (3)

I_у= .

 

4.  Центробежный момент инерции. Данная величина может быть любого знака и имеет размерность [м⁴]:

                                                   I_ху= .                                                  (4)

 

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями.

5. Полярный момент инерции. Данная величина может быть только положительной и имеет размерность [м⁴]:

 

                              I_r= = = I_х + I_у .                               (5)

 

6. Осевые моменты сопротивления. Данная величина может быть только положительной и имеет размерность [м³]:

 

                                                        W_х= ,                                                   (6)

W_у= .

 

7. Полярный момент сопротивления. Данная величина может быть только положительной и имеет размерность [м³]:

 

                                                        W_r= .                                                  (7)

 

8. Радиусы инерции. Данная величина имеет размерность [м]:

 

                                                         i_x= ,                                                       (8)

 i_у= .

 

Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей

Пусть известны геометрические характеристики сечения относительно осей ХY. Требуется определить геометрические характеристики сечения относительно осей Х₁Y₁. Известно, что оси этих двух систем координат параллельны (рис.10). Положение любой точки в новой системе координат можно выразить через координаты в прежней системе координат следующим образом:

 

                                                           х₁  = х – а,                                                  (9)

у₁ = у – b.

 

 

 

 

Рис. 10

 

Запишем геометрические характеристики в новой системе координат по определению и сделаем замену «новых» координат на предыдущие:

 

S_х1= = = - = S_х – bF;

S_у1= = = - = S_y – aF;

I_х1= = = =

                         = - + = I_х-2bS_х + b²F;                 (10)

I_у1= = = =

= - + = I_y-2aS_y + a²F;

I_х1у1= = = =

= - - + = I_ху - aS_y – bS_x + abF.

 

Необходимо помнить, что координаты а и b, входящие в формулы, необходимо подставлять с учетом их знака.

Рассмотрим частный случай. Пусть оси Х₁Y₁ – центральные, тогда                    

 

S_х1 = S_х – bF = 0,

S_у1 = S_у – аF = 0.

 

Следовательно

                                                        b = S_х/F = у_с,                                       (11)

a = S_y/F = х_с,

где х_с, ус – координаты центра тяжести сечения в произвольной системе координат ХY.

Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей

 

 

Рис.11

 

Пусть известны геометрические характеристики сечения относительно осей ХY. Требуется определить геометрические характеристики сечения относительно осей Х₁Y₁. Известно, что оси этих двух систем координат повернуты друг относительно друга на угол a и имеют общее начало координат (рис.11). Координаты любой точки в новой системе координат можно выразить через координаты в прежней системе координат:

 

                                                  х₁ = х×cosa + y×sina,                                        (12)

у₁ = у×cosa - x×sina.

 

Запишем геометрические характеристики в новой системе координат по определению и сделаем замену «новых» координат  на предыдущие:

 

I_х1=  =  =

=  =

=  -  +  =

                                      = I_х×cos²a  - I_ху×sin2a  + I_у×sin²a ;                                 (13)

I_у1=  =  =

=  =

=  +  +  =

= I_y×cos²a  + I_ху×sin2a  + I_x×sin²a ;

I_х1у1=  =  =

=  =

=  -  +  -

 - = I_ху×cos²a - 0,5×I_y×sin2a  +0,5×I_x×sin2a  - I_ху×sin²a =

= I_ху×cos2a - 0,5×sin2a×(I_y - I_x) .

 

Необходимо помнить, что угол a, входящий в формулы, необходимо подставлять с учетом знака.

Сложим выражения для осевых моментов инерции при повороте координатных осей.

 

I_х1 + I_у1 = I_х×(cos²a + sin²a) + I_у×(sin²a + cos²a ) + I_ху×(sin2a- sin2a) = I_х + I_у.

 

Отсюда можно сделать вывод, что при повороте координатных осей сумма осевых моментов инерции неизменна и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.

Рассмотрим частный случай. Пусть оси Х₁Y₁ – главные центральные, тогда

 

I_х1у1= I_ху×cos2a - 0,5×sin2a×(I_y – I_x) = 0,

                                                  tg2a = .                                                 (14)

 

Необходимо помнить, что при решении задач угол, рассчитанный по формуле (14), откладывается против часовой стрелки, если он положителен и по часовой стрелке, если отрицателен.

 

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 245; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!