Интегральные характеристики напряжений в точке

 

Установим связь между интегральными характеристиками напряжений и напряжениями в сечении.

 

 

Рис. 19

 

Выберем бесконечно малую площадку dF = dxdy. На этой площадке действуют нормальное напряжение s_z и касательные напряжения t_zx, t_zy (рис.19). Для того чтобы найти элементарную продольную силу, необходимо умножить нормальное напряжение на площадь площадки, на которой оно действует (t_zx, t_zy перпендикулярны оси Z и поэтому не входят в состав продольной силы). Так как таких элементарных площадок по сечению бесконечно много, то, чтобы найти полную продольную силу, необходимо проинтегрировать элементарную продольную силу по площади поперечного сечения:

 

dN=s_z×dxdy,

                                                      N= .                                               (19)

 

Аналогично поступаем для получения выражений поперечных сил:

 

Q_x= ,

                                                Q_y= .                                         (20)

 

Для получения выражений изгибающих и крутящего моментов напомним, что момент – это произведение силы на плечо (плечо - кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы). Вокруг оси Х момент создает только сила s_z×dxdy (сила t_zх×dxdy не создает момент, т. к. параллельна оси Х; сила t_zу×dxdy не создает момент, так как пересекает ось), плечом для этой силы является координата Y точки действия силы. Момент положительный, т. к. создает вращение против часовой стрелки:

 

                                                   M_x = .                                           (21)

 

Аналогично поступаем для получения выражений моментов M_у и M_z:

 

                                                  M_у =- ,                                           (22)

                             М_z = .                                 (23)

 

Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения

 

Определим величину нормального напряжения в плоскости поперечного сечения, зная интегральные характеристики в этом сечении. Предположим, что нормальные напряжения в сечении распределены по линейному закону:

 

                                               s(х,у) = а + b×х + с×у.                                         (24)

 

С нормальным напряжением в сечении связаны продольная сила и два изгибающих момента. Подставим в выражения (19), (21) и (22) наше предположение о линейной зависимости напряжения от координат в сечении (24):

 

N =  =  =

= + +  =

= а×F+b×S_y+c×S_x ;

M_x =  =  =

                  = + +  = a×S_x+b×I_xy+c×I_x;         (25)

M_у = -  = -  =

= - - -  = -a×S_y-b×I_y-c×I_xy.

 

Выражения (25) были получены для произвольного положения осей. Их можно упростить, взяв в качестве системы координат главные центральные оси. По определению в этих осях статические и центробежный моменты инерции равны нулю (S_x = S_у = 0, I_xy = 0).

 

                                                         N = а×F,

                                                         M_x = c×I_x,                                                      (26)

M_у = -b×I_y.

 

Из полученных выражений можно найти коэффициенты а, b и с:

 

                                       а = N/F, с = M_x /I_x , b = -M_у /I_y.                                (27)

 

Подставив полученные значения коэффициентов в выражение (24), получим

 

                                           s = ,                                         (28)

 

где N – продольная сила в сечении; М_х, М_у – изгибающие моменты в сечении; F – площадь поперечного сечения; I_х, I_у – главные осевые моменты инерции сечения; х, у – координаты точки, в которой вычисляется напряжение относительно главных центральных осей.

 

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 374; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!