II. Электрические цепи переменного тока

ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

1. Переменными э.д.с., напряжениями и токами называют э.д.с., напряжения и токи, периодически изменяющиеся во времени. Для мгновенного значения периодической величины, например, э.д.с., можно записать:

e = f ( t + kT )                                                        

где Т - период или время полного цикла изменения э.д.с.,

 k - целое число.

Мгновенные значения электрических величин в цепях переменного тока обозначают строчными буквами.

2. Среди периодических э.д.с. и токов наибольшее распространение получили синусоидальные э.д.с. и токи. Мгновенное значение синусоидальной величины, например, тока, записывается так:

i = I_m sin w t                                               

где I_m - амплитудное значение тока,

w - угловая частота,

f- частота изменения тока, связанная с периодом соотношением:

w = 2 p f , f = 1/ T                                                  

3. Синусоидально изменяющаяся величина характеризуется амплитудой, частотой (или периодом) и начальной фазой. Фазой называется аргумент синуса, фаза определяет состояние синусоидально изменяющейся величины в данный момент времени.

Величину аргумента синуса при t = 0 называют начальной фазой. На графиках начальную фазу отсчитывают от ближайшего к точке с координатой t = 0 перехода синусоидальной функции через ось абсцисс от отрицательных значений к положительным. При таком порядке отсчета положительная начальная фаза направлена в положительную сторону оси абсцисс, а отрицательная - в обратную сторону (рис.2.1б и 2.1 а). Обозначается начальная фаза буквой "кси" - y.

Для синусоидального тока, изображенного на рисунке 2.2 при различных значениях начальной фазы, можно написать следующие выражения мгновенных значений:

для рисунка 2.la

i = I_m sin w t                                                         

для рисунка 2.1б

i = I_m sin ( w t + y _I ),                                                         

для рисунка 2.1в

i = I_m sin ( w t - y _I ),                                                           

Рис. 2.1. Графики синусоидального тока при различных значениях начальной фазы

 

4. Если на одном графике изображаются для совместного рассмотрения две синусоидальные функции, то разность их начальных фаз называют углом сдвига фаз или просто сдвигом фаз (j). При сопоставлении напряжений и токов чаще всего определяют сдвиг фаз, вычитая из начальной фазы напряжения начальную фазу тока:

j = y _U - y _I ,                                                         

Определение сдвига фаз поясняется рисунком 2 .

Рис. 2.2. Обозначение сдвига фаз на графиках напряжения и тока

 

5. Для оценки величин синусоидально изменяющихся тонов, э.д.с. и напряжений нельзя применять их средние значения, так как среднее за период значение любой синусоидальной величены равно нулю. В качестве оценки этих величин вводится так называемое действующее значение тока, э.д.с. или напряжения, например:

                                                            

Можно показать, что если переменная величина, в данном случае ток изменяется по синусоидальному закону, то

,                                                                        

то есть действующее значение тока равно максимальному, деленному на корень из двух.

Главное преимущество действующего значения синусоидально изменяющейся величины в том, что оно не зависит от времени, следовательно, его удобно изображать на графиках, с его помощью легко проводить всевозможные расчеты. Большинство электроизмерительных приборов сконструировано так, что они фиксируют именно действующие значения синусоидальных токов и напряжений.

6. Синусоидальные токи, э.д.с. и напряжения можно изображать векторами. Это значительно проще, чем изображение с помощью синусоид. Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся с одинаковой частотой токи, напряжения и э.д.с. и представленных в определенном порядке, называют векторной диаграммой.

Ток и напряжение, представленные на рисунках 2.1, 2.2 в виде синусоид, изображены на рисунке 2.3 с помощью векторов.

Рис. 2.3. Векторные диаграммы токов и напряжений.

При построении векторных диаграмм положительные углы отсчитываются по направлению против часовой стрелки.

7. Индуктивные катушки и конденсаторы оказывают сопротивление протекающим по ним переменным токам. В этих сопротивлениях не происходит превращения электрической энергии в тепловую. Поэтому в отличие от активных сопротивлений их называют реактивными. Реактивное сопротивление индуктивной катушки называется индуктивным сопротивлением, обозначается X_L, и вычисляется по формуле:

X_L = w L , Ом                                                      

где L - индуктивность катушки, Г (генри).

Реактивное сопротивление конденсатора называется емкостным сопротивлением, обозначается Х_С и вычисляется по формуле:

                                                               

где С - емкость конденсатора в фарадах.

8. Известно, что в активном сопротивлении напряжение совпадает с током по фазе. Если ток, текущий по сопротивлению на рисунке 2.4а задан выражением

i = I_m sin w t                                                          

то напряжение на этом сопротивлении изменяется по закону:

u = U_m sin w t                                                       

Рис. 2.4 Ток и напряжение в активном сопротивлении.

Синусоиды тока и напряжения, а также их векторная диаграмма представлена на рис.2.4 б, в.

В катушке индуктивности напряжение опережает ток по фазе на угол 90^o . Если ток катушки задан выражением:

i = I_m sin w t                                                          

то напряжение на катушке изменяется по закону:

                

Схема цепи, синусоиды тока и напряжения, также их векторная диаграмма приведены на рисунке 2.5.

Рис. 2.5 Ток и. напряжение в катушке индуктивности.

 

В конденсаторе напряжение отстает от тока по фазе на угол 90°. Если ток, протекающий через конденсатор, задан выражением:

i = I_m sin w t                                                      

 то напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

                             

Схема цепи, синусоиды тока и напряжения, а также их векторная диаграмма приведены на рисунке 2.6.

Рис.2.6 Ток и напряжение конденсатора

 

9. Так как в цепях переменного тока с активными и реактивными элементами токи и напряжения сдвинуты друг относительно друга по фазе, то активные и реактивные сопротивления и проводимости можно складывать только квадратично.

При последовательном соединении элементов (рисунок 2.7а) полное сопротивление цепи определяется по формуле:

                                    

при параллельном соединении элементов (рисунок 2.7б) полная проводимость цепи определяется по формуле:

                                           

где g, b - соответственно активная и реактивная проводимость цепи.

Рис.2.7 Электрическая цепь с последовательным и параллельным соединением элементов.

 

10. Пусть необходимо построить векторные диаграммы токов и напряжений для схем, представленных на рисунке 2.7.

На схеме рис. 2.7а все сопротивления соединены последовательно, поэтому за основу для построения векторной .диаграммы можно принять ток, являющийся общим элементом для сопротивлений. В произвольном направлении в определенном масштабе откладывают вектор тока I (рисунок 2.8а). Известно, что вектор напряжения на активном сопротивлении совпадает с током по фазе, поэтому откладывают в выбранном масштабе вектор U r совпадающим по направлению с током.

Рис. 2,8 Векторные диаграммы электрических цепей

Так как индуктивное напряжение опережает ток по фазе на угол 90°, то из конца вектора Ur, откладывают вектор U_L выбранном масштабе и повернутым относительно тока на угол p/2 против часовой стрелки. Tак как емкостное напряжение Uc отстает по фазе от тока на угол 90°, то из конца вектора U_L откладывают вектор Uc. В выбранном масштабе и повернутым относительно тока на угол p/2 по часовой стрелке.

Так как напряжение на входе схемы Ů согласно второго закона Кирхгофа не может быть ничем иным, как суммой падений напряжении в цепи, то

U = U_r + U_L + U_C                                               

Поэтому вектор, соединяющий начало U r и конец, Uc есть вектор сетевого напряжения U.

Векторная диаграмма для цепи по рисунку 2.8б строится точно так же, но так как все элементы схемы соединены параллельно, то начинают построение с единого для всех сопротивлений элемента - напряжения U.

Угол сдвига по фазе j (фи) между током и напряжением находят из треугольника сопротивлений или треугольника проводимостей.

Например, для схемы на рисунке 2.7 тангенс угла сдвига по фазе между сетевым напряжением и током равен:

                                                       

II. Пример.

Дана схема, изображенная на рисунке 2.9. напряжение на зажимах цепи изменяется по закону:

U = 10 sin w t                                                       

Даны параметры: R₁, = 5 Ом, R₂ = 7 Ом, L = 0,1 Г, С = 135 мк Ф, f= 40 Гц.

Рис 29 Схема для расчета цепи

Определить: показание амперметра, закон изменения тока в цепи, построить векторную диаграмму.

11.1. Определяют реактивные сопротивления. Индуктивное сопротивление:

X_L = w t .                                                                          

X_L = 2 p f L = 2 p × 40 × 0,1 = 25,1 Ом                                     

Емкостное сопротивление:

                 

11.2. Так как все элементы цепи на рисунке 2.9 соединены последовательно, то по ним протекает один и тот же ток. Определяют его по закону Ома как частное от деления напряжения на зажимах цепи на полное сопротивление цепи.

11.2.1. Амперметр показывает действующее значение тока, поэтому необходимо воспользоваться действующим значением приложенного напряжения:

                                                       

11.2.2. Полное сопротивление цепи определяют исходя из следующих соображений.

Напряжения на активных сопротивлениях цепи совпадает по фазе, следовательно, активное напряжение цепи

U_r = U_{r 1} + U_{r 2} ,                                                               

откуда, разделив правую и левую части равенства на ток, получают

r = r ₁ + r ₂.                                                                            

Напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе противоположны по фазе, следовательно, реактивное напряжение цепи

U_p = U_L – U_C,                                                          

откуда, разделив правую и левую части равенства на ток, получают

X = X_L – X_C = w L – 1/ w c.                                   

Известно, что активное и реактивное сопротивление цепи с последовательным соединением параметров складываются квадратично, следовательно, полное сопротивление электрической цепи находят по выражению:

11.2.3. Показание амперметра:

                                                    

11.3. Прежде, чем написать закон изменения тока в цепи, можно построить векторную диаграмму, из которой можно определить, опережает или отстает ток по фазе от приложенного напряжения.

На векторной диаграмме должны быть представлены в векторной форме все токи и напряжения, реально существующие в цепи. Из рисунка 2.9 видно, что по всем элементам цепи протекает один и тот же ток. На всех сопротивлениях он вызывает падения напряжений, сумма которых равна сетевому напряжению (согласно второму закону Кирхгофа).

Как правило, векторная диаграмма отроится для действующих значений токов и напряжений. Ток рассчитан в п. 11.2.3. Определим величины падений напряжений на сопротивлениях:

U_{r 1} = I × r ₁ = 0,58 × 5 = 2,9 B                                            

Выбирают масштабы для тока и напряжения. Пусть, например, в 1 см. содержится 0,1 А, и в 1 см, - 2 В. Построение векторной диаграммы для цепи с последовательным соединением элементов удобнее начать с вектора тока. От произвольной точки плоскости в произвольном направлении откладывают вектор тока I (рисунок 2.10)

Напряжение на активном сопротивлении r₁ совпадает по фазе с током, поэтому вектор U r совпадает по направлению с вектором тока I.

Напряжение на катушке U_L, опережает ток по фазе на 90° . Из конца вектора U_rl откладывают вектор U_L под углом 90°, причем, угол отсчитывают от вектора тока против часовой стрелки.

Напряжение на конденсаторе отстает от тока по фазе на угол девяносто градусов. Поэтому от конца вектора U _I. откладывают вектор Uc под углом 90° по отношению к вектору тока, причем, угол отсчитывается по часовой стрелки.

Рис. 2.10. Векторные диаграммы при последовательном и параллельном соединении параметров цепи

Напряжение на сопротивлении r₂ совпадает с током по фазе. Поэтому от конца вектора U_L откладывают вектор U _I параллельно вектору тока. Направления векторов U_r2 и I должны совпадать.

Так как по второму закону Кирхгофа можно записать:

U = U_{r 1} + U_L + U_C + U_{r 2}                                               

то, соединяя начало вектора U_r1 с концом вектора U_r2 , получают вектор сетевого напряжения U. Из рисунка 2.10 видно, что вектор сетевого напряжения отстает по фазе от вектора тока, следовательно, полное сопротивление цепи носит активно-емкостный характер.

11.4. Известно, что в линейных электрические цепях ток изменяется по синусоидальному закону, если по этому же закону изменяется питающее напряжение.

По условию

U = U_m sin w t                                                       

Вектор тока опережает вектор сетевого напряжения на угол j, следовательно, закон изменения тока в цепи по рисунку 2.10 можно написать так:

                                                    

Определим численное значение угла j:

                  

«Минус» свидетельствует о том, что вектор напряжения является отстающим по фазе. Это равнозначно утверждению: вектор тока является опережающим по фазе. Поэтому в формулу закона изменения тока величина угла войдет со знаком «плюс».

                               

 

Методические указания. Для решения задачи целесообразно рассмотреть особенности расчета синусоидальных цепей с использованием комплексных чисел. В соответствии с теорией комплексных чисел полное сопротивление каждого участка цепи переменного тока можно записать в алгебраической и показательной формах тока.

,

где х = х_L – реактивное сопротивление участка цепи с индуктивностью, Ом; х = -х_c – реактивное сопротивление участка цепи с емкостью, Ом;   х = х_L-х_c – реактивное сопротивление участка с индуктивным и емкостным сопротивлениями; z , j – модуль и фаза полного сопротивления участка

 z = ; j = arctg (x/r).

 

Определяем комплексное значение полного сопротивления параллельных ветвей и общее сопротивление всей цепи

1/z_п = z_k; z_об= z₁ + z_п,

где z_п – полное сопротивление участка цепи с параллельным соединением, Ом; z_k – полное сопротивление к-й параллельной ветви, Ом; к, n – номер и количество параллельных ветвей; z_об – полное сопротивление всей цепи, Ом.

Ток в неразветвленной части цепи и в параллельных ветвях определяется на основании закона Ома по формулам:

₁ =  / z_об ; _п = ₁ z_п ; _к = _п / z_k ,

 

где ₁ – ток в неразветвленной части цепи, А ;  =  – напряжение источника в комплексной форме, В; _п – напряжение на участке с параллельным соединением ветвей, В; _к – ток в к-й параллельной ветви, А.

Мгновенные значения напряжения и токов на участке с параллельным соединением рассчитывается по формуле

u_п = U_mп sin ( wt + j_Uп); i_к = I_кm Sin ( wt + j_{i к}),

где U_mп = U_п  – амплитуда напряжения на участке с параллельным соединением, В; j_Uп , j_{i к} – начальная фаза напряжения и тока на участке с параллельным соединением, значение которых определяются расчетом.

Для построения векторной диаграммы расчетные значения токов и напряжений изображают на комплексной плоскости в следующей последовательности: 1) построить в выбранном масштабе вектор напряжения на участке цепи с параллельным соединением элементов; 2) в масштабе токов построить векторы токов в ветвях; 3) на основании первого закона Кирхгофа построить вектор тока в неразветвленной части цепи; 4) построить векторы напряжений на элементах r , L, C, включенных в неразветвленную часть цепи, и, сложив их с вектором напряжения на участке цепи с параллельным соединением, получить вектор напряжения на зажимах цепи.

Если взаимное расположение векторов токов и напряжений на отдельных участках цепи соответствует характеру нагрузки и треугольники токов и напряжений получаются замкнутыми, значит, решение правильное.

Активную, реактивную и полную мощности, потребляемые из сети, можно определить на основе выражения для комплексных значений полной мощности

S =  = S соs j ± j S sin j = P ± jQ,

где – сопряженное комплексное значение тока, отличающееся от  знаком перед мнимой частью, А; S = U I – полная мощность, ВА;   S соs j – активная мощность, Вт; S sin j – реактивная мощность, вар.

При активно-индуктивном характере нагрузки знак перед jQ положительный, а при активно-емкостном – отрицательный.

При составлении баланса мощностей в левой части равенства записывается комплекс полной мощности источника S. В правой части записывается сумма комплексов полных мощностей ветвей

S = _k =  + j  ,

где  – комплекс напряжения на к-ом участке цепи, В; _k – сопряженный комплекс тока на данном участке, A; P_k = I_k² r_k – активная мощность на к-м участке цепи, Вт; Q_k = I_k² x_k – реактивная мощность на данном участке цепи, вар.

Пример . Для схемы  на рис. 2.6 заданы параметры цепи, Ом: r₁ = x_L1 = 2 Ом; r₂ = 4 Ом; x_L2 = 8 Ом; r₃ = 8 Ом; x_с3 = 4 Ом. Напряжение сети U = 100 В, начальная фаза напряжения y _U = 20⁰. Определить токи и мощности на всех участках цепи. Построить векторные диаграммы.

 

                 Рис.2.6

Решение. Комплексные значения полных сопротивлений участков цепи в алгебраической и показательной формах запишутся в виде, Ом:

 

 Z1 = 2 + j 2 = 2. 83 e ^{j 45};

 Z2 = 4 + j8 = 8.94 e ^{j 63};

 Z3 = 8 – j 4 = 8.94 e ^{– j 26}.

Комплексное значение полного сопротивления на участке с параллельным соединением рассчитываем по формулам:

 

;            .

При делении и умножении используем показательную форму комплексного числа, а при сложении и вычитании – алгебраическую. После подстановки в формулу значения сопротивлений получим

 

 = 5.94 + j 2.05 = 6.32 e ^{j 19}, Ом.

Общее сопротивление всей цепи определится

 

Z_об = Z₁ + Z_п = 2 + j 2 + 5.94 + j 2.05 = 8.9 e ^{j 26} , Ом.

Комплексное, а также мгновенное значение тока в неразветвленной части цепи и напряжение на участке с параллельным соединением вычисляем по формулам:

, А;

i₁ = × 11.23 sin (wt – 6°) = 15.83 sin (wt – 6°), A;

_п =  Z_п = 11.23 e ^{– j6} × 6.32 e ^j19 = 71 e ^j13, В.

 

Тогда мгновенное значение напряжения на этом участке цепи будет определяться выражением:

 

 u_п = ·71 sin (wt + 13°) = 100.41 sin ( wt + 13°), В.

Комплексные и мгновенные значения токов в параллельных ветвях, А:

 

;

 

 

i₂ = · 7.94 sin (wt – 50°) = 11.23 sin (wt – 50°);

 

i₃ = · 7.94 sin (wt + 39°) = 11.23 sin (wt + 39°).

 

Построение векторной диаграммы проводится по расчетным значениям токов и напряжений, представленных на рис. 2.7 в виде векторов на комплексной плоскости.

 

Рис. 2.7. Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма напряжений строится на основе уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа

 = п + 1,

где ₁ = ₁ Z₁ = 31.78 e ^j39 – падение напряжение на первом участке цепи, а векторная диаграмма токов строится на основе уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа

 

₁ = ₂ + ₃.

Полная мощность источника определяется выражением

 S =  = P + j Q = 100 e ^j20 · 11.23 e ^j6 = 1008.8 Вт + j 504.4 вар .

 

Активная мощность всех участков цепи равна действительной части комплексного значения полной мощности источника

P = I  r₁ + I  r₂ + I  r₃ = 11.23² · 2 + 7.94² · 4 + 7.94² ·8 = 1008.8 Вт.

 

Реактивная мощность всех участков цепи равна мнимой части комплексного значения полной мощности источника

Q = I  x_L1 + I  x_L2 – I  x_C3 = 11.23² · 2 + 7.94² · 8 – 7.94² · 4 = 504.4 вар.

 

Следовательно, задача решена верно.

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 444; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!