Медленно изменяющиеся течения

Общие свойства и уравнения движения

В медленно изменяющихся течениях упругие свойства жидкости проявляются очень слабо. Это обусловлено тем, что скорость распространения упругих возмущений в жидкости очень велика ~ 10³ м/с. Если длина гидролинии системы не очень большая, например, ~ 10 м, то возмущение (например, давления) распространится с одного ее конца до другого за t ~ 0,01 с. Пусть характерное время процесса (например, время изменения давления на одном конце гидролинии) составляет t⁰ ~ 1 с. Так как t >> t⁰, то разница давлений на противоположных концах гидролинии практически не будет заметна, так как скорость передачи возмущения давления с одного конца гидролинии на другой значительно выше скорости внесения в систему внешних возмущений давления. В данном случае можно считать, что жидкость ведет себя, как несжимаемая среда. Нестационарность изменения параметров потока в медленно изменяющихся течениях связана только с инерционностью жидкости.

Таким образом, основным допущением при математическом описании медленно изменяющихся течений является допущение несжимаемости жидкости, то есть .

С учетом этого допущения дифференциальные уравнения движения , принимают вид

Интегрирование уравнений для некоторого произвольного момента времени вдоль оси трубопровода от сечения 1 до сечения 2 дает известное уравнение Бернулли с инерционным членом

где – полный напор потока; – потери полного напора на преодоление сил вязкого сопротивления; – инерционный напор, обусловленный ускорением потока.

Последний член уравнения представляет собой работу сил инерции жидкости. Она может быть как положительной, когда поток тормозится, что приводит к росту полного напора, или отрицательной, когда поток разгоняется. В последнем случае часть полного напора тратится на разгон жидкости. Если течение происходит в трубопроводе постоянного сечения длиной l, то инерционный напор можно определить по формуле

Примеры медленно изменяющихся течений

Разгон потока жидкости

Рассмотрим истечение жидкости из большого резервуара в атмосферу через трубопровод после резкого (мгновенного) открытия затвора, рис. 2.1.

Рис. 2.1. Истечение жидкости из большого резервуара при открытии затвора

В зависимости от диаметра трубопровода и располагаемого напора в трубопроводе может реализоваться, как ламинарный, так и турбулентный режим течения. Точнее говоря, в начальный период разгона жидкости течение всегда ламинарное. Однако, если диаметр трубопровода и располагаемый напор достаточно большие, то интервал времени с ламинарным режимом может оказаться пренебрежимо малым.

Ламинарный режим. Если скоростной напор мал по сравнению с располагаемым напором Н₀, то уравнение Бернулли , записанное для сечений 0 и 1, можно представить в виде

где n – коэффициент кинематической вязкости жидкости; l, d – длина и диаметр трубопровода.

Положив в этом уравнении , получим скорость стационарного потока w₀, которая установится в конце разгона

Поделив уравнение на Н₀ и перейдя к относительной скорости , получим уравнение в безразмерной форме

где – постоянная времени.

Интегрируя в пределах по времени от 0 до t, а по скорости – от 0 до , получим

Стационарное значение скорости достигается при . Однако уже при времени процесса разница между w и w₀ становится менее 2 %.

Полученная формула верна при пренебрежимо малой величине скоростного напора. Будем считать, что отвечает этому требованию. Подставляя сюда выражение стационарной скорости из , получим

Развитый турбулентный режим. Уравнение движения для данного случая запишется в виде

где a – коэффициент Кориолиса; x– коэффициент сопротивления трубопровода. Переходя в к относительным переменным, получим

где – постоянная времени; – относительная скорость потока, где стационарная скорость w₀ определяется по формуле

Разделяя переменные и интегрируя, получим

В данном случае текущее значение скорости отличается от стационарного значения менее, чем на 2 % через промежуток времени

Формула применима при развитом турбулентном режиме, то есть когда коэффициент трения l не зависит от числа Рейнольдса. Это условие выполняется при , где D – относительная шероховатость трубопровода. Принимая , то есть требуя, чтобы развитое турбулентное течение было бы, по крайней мере, пока скорость потока изменится от значения w₀/3 до w₀и подставляя в это неравенство и выражение для коэффициента сопротивления

после перегруппировки получим выражение для относительной длины трубопровода, обеспечивающего применимость формулы :

График изменения скорости при разгоне жидкости в относительных переменных для ламинарного и турбулентного режимов показан на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Изменение скорости жидкости в трубопроводе при открытии затвора

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 241; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!