Графический анализ опытных данных
Сравнение с теорией. Функциональные шкалы
Для проверки теоретической зависимости на график наносят опытные точки (нередко с указанием их погрешности в виде 
–DY), а теоретическую кривую проводят через точки, рассчитанные по уравнению. Если теория дает лишь вид зависимости, а параметры ее неизвестны и их надлежит определить из опыта, то экспериментальную зависимость стараются привести к линейному виду (так как параметры прямой найти проще). С этой целью при построении графика по осям откладывают не сами измеренные величины, а такие функции этих величин, которые позволяют линеаризовать зависимость. Рассмотрим пример.
Опыт показывает, что электрическое сопротивление полупроводника снижается с ростом температуры нелинейно. Чтобы выбрать координаты, в которых зависимость линеаризуется, обратимся к теории. Согласно квантовой теории твердого тела сопротивление истинного полупроводника меняется с температурой по закону 
. Логарифмируя это уравнение, получаем зависимость 
, которая представится на графике в виде прямой 
, если обозначить 
, 
. Определяя параметры этой прямой 
и 
, можно найти характеристики полупроводника 
.
Определение параметров линейной зависимости
Известны два наиболее распространенных метода:
– приближенный метод определения параметров прямой, использующий отрезки, отсчитанные по шкале на осях графика;
– метод наименьших квадратов (МНК).
|
|
|
Приближенный метод
Пусть измеренные величины 
связаны линейной зависимостью вида 
и требуется определить ее параметры 
.
Рис. 1. Определение параметров 
|
, удобно точку а взять на одной из осей, а точку б – так, чтобы отрезок 
выражался целым числом.
Среднее значение углового коэффициента вычисляют как отношение, определяющее наклон прямой:
.
Параметр b линейной зависимости находят по графику как ординату точки пересечения прямой с осью 
. Величину 
можно найти и по уравнению прямой, подставляя координаты средней точки графика:
.
Случайные погрешности параметров определяются разбросом опытных точек по отношению к проведенной прямой. Для простейшей оценки этих погрешностей достаточно найти на графике величину 
– отклонение наиболее удаленной точки от прямой линии, и 
– интервал, в котором сделаны измерения (длина оси ).
Абсолютная случайная погрешность параметра b: 
.
|
|
|
Для углового коэффициента прямой линии сначала вычисляют относительную погрешность:
.
Эта формула привлекает тем, что при расчете отношения величин одного рода можно взять их в любых единицах (всего удобнее – в малых делениях шкалы оси ). Напомним, что в величине погрешности имеет значение, как правило, одна цифра, а потому достаточная точность отсчета отрезка – "круглое число", например, 90, 100 или 120 мм (или 10 – 15 клеток масштабной бумаги).
Затем находят абсолютную погрешность средней величины 
:
,
чтобы записать доверительный интервал для искомого параметра :
.
Доверительная вероятность 
в описанном методе оценки погрешностей (по максимальному отклонению ) зависит от числа опытных точек 
– чем больше число , тем выше надежность результата:
.
Темы лабораторных работ
Таблица 6
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 251; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!