Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Если все возможные значения случайной величины 
принадлежат интервалу 
, то числовые характеристики непрерывной случайной величины находят по формулам:
, 
(10.27)
, 
. (10.28)
Если все возможные значения случайной величины принадлежат конечному интервалу 
, то пределы интегрирования в приведенных выше формулах заменяются соответственно 
на 
, 
на 
.
Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин переносятся и на случай непрерывных случайных величин.
Пример 1.Найти математическое ожидание, дисперсию исреднее квадратическое отклонение случайной величины Х, если известен ее закон распределения:
| X | –1 | 4 | 6 | 7 |
| P | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
Решение.
1. Математическое ожидание 
вычисляем по формуле:
.
2. Дисперсию вычислим по формуле:
9,84.
3. Среднее квадратическое отклонение вычисляем по формуле:
.
Пример 2.Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
| X | 4 | 6 | 9 |
| P | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Найти функцию распределения вероятностей и построить ее график.
Решение.
По формуле
получаем:
если 
, то 
;
если 
, то 
;
если 
, то 
;
если 
, то 
.
Искомая функция распределения имеет вид
Построим график этой функции:
| X |
| F(x) |
| 6 |
| 9 |
| 4 |
| 0 |
| 0,3 |
| 0,8 |
| 1 |
Пример 3.Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей F(x). Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей f(x); б) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение; в) построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).
|
|
|
Решение.
1. Плотность распределения вероятностей
2. Математическое ожидание
3. Дисперсия
4. Среднее квадратическое отклонение
.
5. График функции распределения F(x):
График плотности распределения f(x):
Задачи №571-595:
571. Найдите вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 27 является делителем числа 60.
572. Из полного набора 28 костей домино извлечена кость. Какова вероятность того, что сумма очков на взятой кости равна 5.
573. Из 35 экзаменационных билетов наудачу извлекается один. Какова вероятность того, что номер вытянутого билета есть число, кратное трем.
574. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков кратна 6.
575. Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 выбираются два числа. Найти вероятность того, что их сумма четная.
576. Длины пяти отрезков равны соответственно 1, 3, 4, 5, 6 единицам. Найдите вероятность того, что из трех случайно выбранных из них отрезков можно построить треугольник.
577. В группе 16 студенток и 6 студентов. Найти вероятность того, что среди четырех наугад выбранных учащихся окажется одна студентка и три студента.
|
|
|
578. На четырех карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4. Карточки перевернули и перемешали. Наугад открыли последовательно три карточки и положили в ряд. Какова вероятность, что в результате получится число 312 или 321.
579. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона содержит только одну цифру «7».
580. Монету бросают три раза. Найти вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.
581. На пяти одинаковых карточках написаны буквы Л, М, О, О, Т. Какова вероятность того, что извлекая карточки по одной наугад, получим в порядке их выхода слово «МОЛОТ».
582. В колоде 36 карт. Вынимаются три карты без возвращения. Найти вероятность того, что будут вынуты бубновая, пиковая карта и шестёрка треф.
583. В группе из 5 юношей и 3 девушек по жребию разыгрываются два билета в кино. Какова вероятность того, что билеты достанутся юноше и девушке.
584. Длины отрезков равны 2, 6, 8, 11, 12 единицам. Найдите вероятность того, что из трех случайно выбранных из них отрезков можно построить треугольник.
585. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не менее 6.
|
|
|
586. В корзине 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые.
587. Из полного набора 28 костей домино извлечена кость. Какова вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость оказалась дублем.
588. На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Вынимаются наугад две карточки. Найти вероятность того, что их сумма нечетная.
589. На пяти одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Наугад выбираются две карточки и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что сумма цифр более шести.
590. Из 7 карточек разрезной азбуки составлено слово КОЛОКОЛ. Эти карточки рассыпали и затем собрали в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово КОЛОКОЛ.
591. Найти вероятность того, что случайно взятое двузначное число делится на 7.
592. Из колоды в 36 карт извлекаются три карты. Найти вероятность того, что все они пиковой масти.
593. Брошены две игральные кости. Найти вероятность, что произведение выпавших очков делится на 3.
594. В ящике 10 шаров: 7 черных и 3 белых. Из ящика вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 черных и 2 белых шара.
|
|
|
595. В коробке лежат десять карточек, на которых написаны цифры от 0 до 9. Вынимают две карточки. Найти вероятность, что сумма цифр меньше десяти.
Задачи №596-620:
596. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает: а) только один из стрелков; б) хотя бы один из стрелков.
597. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
598. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для аудиторской проверки случайно выбраны 5 сбербанков. Какова вероятность того, что хотя бы 2 из них окажутся в черте города.
599. Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что отдельный студент сдаст экзамен на «отлично» равна для первого студента 0,7, для второго – 0,6, для третьего – 0,2. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан на «отлично»: а) только одним из студентов; б) двумя студентами; в) хотя бы одним.
600. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – вторая цифра. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) во второй раз; б) в оба раза.
601. В ящике 5 белых, 6 черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой – черный? Вынутый шар в ящик не возвращается.
602. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.
603. Три друга сдают вступительные экзамены. Вероятность того, что первый поступит в институт, равна 0,6, второй – 0,5, третий – 0,45. Какова вероятность того, что в институт поступит хотя бы один из них.
604. На сессии студенту предстоит сдать экзамен по трем предметам. Студент освоил 90% вопросов по первому предмету, 95% по второму и 50% по третьему. Какова вероятность того, что студент успешно сдаст: а) все экзамены; б) хотя бы два экзамена.
605. Девушка назначила свидание двум юношам одновременно в одном месте. Вероятность того, что первый юноша придет на свидание, равна 0,4, а второй – 0,5. Найти вероятность того, что хотя бы один юноша придет на свидание.
606. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.
607. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?
608. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее, чем в двух справочниках.
609. В первой корзине 7 белых и 3 черных шара, во второй корзине – 5 белых и 5 черных, в третьей – 4 белых и 6 черных. С каждой корзины наугад выбирают по одному шару. Найти вероятность того, что среди выбранных шаров будет: а) только один белый; б) два белых шара; в) три белых шара; г) хотя бы один белый шар.
610. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
611. В цехе работают три станка. Вероятность отказа в течение смены для станков соответственно равна 0,1, 0,2 и 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены безотказно проработают два станка.
612. Вероятность того, что при одном измерении допущена ошибка, равна 0,4. Производят 3 независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущена ошибка.
613. В магазин вошли три покупателя. Вероятность того, что каждый что-нибудь купит, равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) два из них совершат покупки; б) все три совершат покупки; в) ни один не совершит покупки.
614. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,35, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.
615. На стадионе установлены три экрана. Вероятности того, что в данный момент горят экраны, равны соответственно 0.9; 0.8 и 0.7. Найти вероятности событий: а) в данный момент горят два экрана; б) в данный момент горит не более одного экрана; в) в данный момент горят 3 экрана.
616. На сборку поступают детали с трех станков. Первый станок дает 20% деталей, второй - 30%, а третий - 50%. Найти вероятности того, что из трех взятых наугад деталей: а) все будут выпущены разными станками; б) все будут выпущены третьим станком; в) две детали выпущены вторым станком.
617. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; для второго экзамена эта вероятность равна 0,7; для третьего - 0,6. Найти вероятности событий: A – «студент сдаст два экзамена»; B – «студент сдаст хотя бы два экзамена»; C – «студент сдаст не более двух экзаменов».
618. Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора – автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал: а) хотя бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.
619. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый, второй вопросы, равна по 0,9; на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) по крайней мере, на два вопроса билета.
620. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность того, что обладатель пяти билетов лотереи выиграет: а) по всем пяти билетам; б) ни по одному; в) хотя бы по одному билету.
Задачи №621-645:
621. Стрелковое отделение получило десять винтовок, из которых восемь пристрелянных, две нет. Вероятность попадания в цель из пристрелянной винтовки – 0,6, а из не пристрелянной – 0,4. Найти вероятность, что стрелок из наудачу взятой винтовки попадет в цель при одном выстреле.
622. Имеются 3 урны со следующим составом: в первой урне 5 белых и 5 черных шаров, во второй урне – 6 белых и 8 черных шаров, а в третьей урне – 3 белых и 10 черных шаров. Из урны, выбранной наугад, извлечен белый шар. Найти вероятность того, что извлечение производилось из второй урны.
623. Три завода выпускают электролампы. его завода. Найти вероятность того, что купленная в магазине электролаПервый завод выпускает 45% всей продукции, второй – 40% и третий – 15%. 70% электроламп первого завода стандартны, 80% - со второго и 81% - с третьмпа будет стандартной.
624. Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85, при понижении – с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что фирма получит прибыль.
625. Бросается монета, и если она падает так, что сверху оказывается герб, вынимаем шар из урны I; в противном случае – из урны II. Урна I содержит 3 красных и 5 белых шара. Урна II содержит 1 красный и 7 белых шаров. Какова вероятность того, что вынутый шар красный.
626. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в отношении 3:4:6. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 95%, второй – 80%, третьей – 75%. Приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено второй фирмой?
627. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 2 нестандартных; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.
628. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. Найти вероятность того, что приобретенное изделие окажется нестандартным.
629. При передаче сообщения сигналами «точка» и «тире» эти сигналы встречаются в отношении 5 : 3. Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Найти вероятность того, что произвольный из принятых сигналов не искажен.
630. В первой урне: 5 белых и 10 черных шаров, во второй урне: 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.
631. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложили 2 шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Вычислить вероятность вынуть белый шар из второй урны.
632. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность I автомата вдвое больше производительности II –го. I автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а II-й – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена II автоматом.
633. Среди проживающих в общежитии 80% составляют студенты и 20% сотрудники. Через проходную в общежитие проходят без пропуска 15% сотрудников и 10% студентов. Через проходную общежития кто-то прошел без пропуска. Какова вероятность, что это был сотрудник.
634.На занятии по теории вероятностей присутствовало из I группы 75%, а из II группы – 90% студентов. Ежедневно пропускают занятия из I группы – 5%, из II группы – 1% (без причины). При проверке в какой-то группе не оказалось студента. Какова вероятность того, что это был студент I группы.
635. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,3. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит второму стрелку.
636. Имеются три урны с шарами: в первой – 4 белых и 6 красных, во второй – 7 белых и 3 красных, в третьей – 8 белых и 2 красных. Бросают игральную кость. При выпадении одного, двух, трех очков вынимают шар из первой урны, четырех очков – из второй, другого количества очков – из третьей урны. Вынутый шар оказался белым. Найти вероятность того, что шар вынут из третьей урны.
637. На складе имеется 28 комплектующих изделий от двух компаний поставщиков, из них 20 изделий от первой компании. Известно, что с вероятностью 0.7 среди поставок первой компании встречаются изделия, выполненные по новейшей технологии. Среди изделий второй компании такие встречаются с вероятностью 0.8. Случайным образом выбранное изделие оказалось выполненным по новейшей технологии. Какова вероятность того, что это изделие от первой компании?
638. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу вынули один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
639. Имеются три одинаковых ящика. В первом ящике лежат 2 белых 2 черных шара; во втором – 3 черных; в третьем – 1 черный и 5 белых. Случайным образом выбирается ящик и наугад вынимается из него шар. Какова вероятность, что шар будет белый?
640. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0.06, на втором - 0.02. Производительность первого автомата втрое больше, чем второго. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна.
641. Всхожесть семян данного растения имеет вероятность 0,8. Какова вероятность, что из 5 посеянных семян взойдет не менее 4.
642. Вероятность банкротства одной из 6 фирм к концу года равна р = 0,2. Какова вероятность того, что к концу года обанкротится не более 3 фирм.
643. Каждое из 8 предприятий отрасли выполняет месячный план с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что в конце месяца план выполнят по крайней мере 6 предприятий.
644. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному покупателю; б) по крайней мере одному покупателю.
645. Предполагается, что 10 % открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из 6-ти малых предприятий не более 2-х в течение года прекратят свою деятельность?
Задачи №646-670:
646. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит: а) 4 бракованных книги; б) не менее 3-х бракованных книг.
647. В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене будет продано: а) 5 пакетов; б) хотя бы 2 пакета.
648. Счетчик Гейгера регистрирует частицы, вылетающие из некоторого радиоактивного источника, с вероятностью 0,001. Предположим, что за время наблюдения из источника вылетело 30000 частиц. Какова вероятность того, что счетчик зарегистрирует: а) ровно 3 частицы; б) хотя бы одну частицу.
649. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно 2; б) менее 2-х; в) более 2-х; г) хотя бы 3.
650. При наборе слова оператор делает ошибку с вероятностью 0,002. Какова вероятность, что в набранной статье, состоящей из 3000 слов, будет не более 2 ошибок.
651. Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся высшего качества.
652. Вероятность некоторого события в единичном испытании оставляет 0,004. Найти вероятность того, что в 2500 испытаниях данное событие произойдёт ровно 4 раза.
653. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях.
654. Монета подброшена 40 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает в 25 случаях.
655. Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся высшего качества.
656. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится не более 74 раз.
657. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
658. Вероятность того, что деталь не прошла проверку отклонений равна 0,2. Найти вероятность, что среди 400 отобранных деталей непригодных окажется от 70 до 100.
659. Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р=0,75. Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз.
660. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 80 грибов белых будет 20?
661. Каждый моряк из экипажа судна, прибывшего в порт, может с вероятностью, равной 1/3, осматривать город, остаться на корабле или находиться в ресторане. Найти вероятность того, что из 203 членов экипажа в данный момент 71 моряк осматривает город.
662. Доля стандартных однолетних сеянцев сосны в питомнике составляет 70%. Определить вероятность того, что в партии из 1000 сеянцев стандартных сеянцев ровно 700.
663. Какова вероятность, что при 100 бросаниях монеты «герб» появится от 40 до 60 раз?
664. Игральный кубик подбросили 125 раз. Какова вероятность того, что цифра 6 появилась не более 60 раз?
665. Вероятность получения по лотерее безвыигрышного билета равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 400 наугад купленных билетов не менее 50 и не более 60 безвыигрышных.
666. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50 % студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят: а) 180 студентов; б) не менее 180 студентов.
667. Вероятность того, что покупателю требуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют обувь 41-го размера: а) 25 человек; б) от 10 до 30 человек; в) не более 30 человек; г) не менее 35 человек.
668. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
669. В цехе имеется 125 станков, работающих независимо друг от друга. Каждый станок оказывается включенным 0,85 всего рабочего времени. Какова вероятность, что в некоторый момент времени окажутся включенными: а) 106 станков; б) не менее 123 станков; в) хотя бы один станок.
670. Многие ботаники делали опыты по скрещиванию желтого (гибридного) гороха. По гипотезе Менделя вероятность появления зеленого гороха в таких опытах равна 1/4. Какова вероятность того, что при 34 153 скрещиваниях зеленый горох будет получен от 8 493 до 8 507 раз?
Задачи №671-695:
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:
| 671 |
| 672 |
| ||||||||||||||||
| 673 |
| 674 |
| ||||||||||||||||
| 675 |
| 676 |
| ||||||||||||||||
| 677 |
| 678 |
| ||||||||||||||||
| 679 |
| 680 |
| ||||||||||||||||
| 683 |
| 684 |
| ||||||||||||||||
| 685 |
| 686 |
| ||||||||||||||||
| 687 |
| 688 |
| ||||||||||||||||
| 689 |
| 690 |
| ||||||||||||||||
| 691 |
| 692 |
| ||||||||||||||||
| 693 |
| 694 |
| ||||||||||||||||
| 695 |
|
Задачи №696-720:
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей F(x). Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей f(x); б) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение; в) построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1515; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!