Функция распределения случайной величины
Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Естественно, встает вопрос о том, нельзя ли охарактеризовать случайную величину иным способом, одинаково годным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.
Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины, т.к. полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, то есть является одной из форм закона распределения.
Функцией распределения вероятностейназывают функцию F(x), определяемую формулой:
. (10.24)
Свойства функции распределения:
10. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:
.
20. Функция распределения есть неубывающая функция:
, если 
.
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в промежутке (a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(a<X<b)=F(b)–F(a).
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, например x1, равна нулю: P(X=x1)=0.
30. Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a; b), то
F(x)=0 при 
; F(x)=1 при 
.
Следствие. Справедливы следующие предельные соотношения:
, 
.
Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной функцией со скачками в точках, являющихся значениями случайной величины; величины скачков равны вероятностям, с которыми эти значения принимаются, т.е. если 
–дискретная случайная величина, то 
.
|
|
|
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):
f(x)=F'(x) (10.25)
Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.
Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.
Свойства плотности распределения:
10. Плотность распределения – неотрицательная функция: 
, т.к. F(x) – неубывающая функция.
20. Вероятность того, что непрерывная случайная величина 
примет значение, принадлежащее интервалу 
, определяется равенством:
. (10.26)
Геометрически – это значит, что вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f (x) и прямыми х = а, х = b.
|
|
|
30. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от –∞ до +∞ равен единице:
.
Геометрически – это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.
Частный случай. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то
.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 306; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!