Нули функции, промежутки знакопостоянства.

Предложение. Функция , , принимает только положительные значения.

Доказательство. Пусть х – произвольная точка числовой прямой. Возьмем рациональное число , например, . По свойству степенной функции с рациональным показателем для любого (§14, предложение 1). Так как функция , , строго возрастает, то . Предложение доказано.

Непрерывность.

Лемма. Функция , , непрерывна в точке 0.

Доказательство. Пусть . По свойствам степени . Пусть (х_п) – произвольная числовая последовательность, сходящаяся к 0. Требуется доказать, что . Учитывая свойство плотности множества рациональных чисел в R, образуем последовательность рациональных чисел, для которой (" ). Поскольку , то . Из определения степени действительного числа следует, что . Так как функция при строго возрастает на R и , то для любого . По теореме о пределе промежуточной последовательности получаем . Предложение доказано.

Предложение. Функция , , непрерывна на R.

Доказательство. Пусть х ₀ÎR и (х_п) – произвольная числовая последовательность, сходящаяся к х ₀. Докажем, что . Поскольку , то по лемме . Тогда, используя свойства степени, получаем:

Теорема доказана.

5.Поведение функции в бесконечно удаленных точках.

Лемма. при .

Доказательство. Так как , то , где . По неравенству Бернулли: (*). Для произвольного рассмотрим неравенство . Возьмем натуральное . Тогда для любого натурального будет выполнено и в силу неравенства (*) . Это и означает, что .

Предложение. Если , то (1) и (2).

Доказательство. Возьмем произвольное . Поскольку , то существует такое N ₀ÎN, что для всех натуральных выполняется неравенство . Пусть . Очевидно, и . Тогда . Возьмем произвольное . Так как показательная функция с основанием строго возрастает, то , следовательно, . Это и означает, что .